Matematické Fórum

Schnappi

Dobrý deň, nejaké rady k tomuto príkladu?

Pre prirodzené čísla k, n > 0 definujeme množinu $M(k,n)=\{k,2k,3k,...,n\cdot k\}$ .
Určite, aké prvky budú obsahovať nasledujúce množiny. Svoje tvrdenie dokážte.

a) $M(i,n) \cap M(j,n)$ , kde $i,j,n\in \mathbb{N}$ a i, j sú nesúdeliteľné čísla,
b) $M(i,n) \cap M(j,n)$ , kde $i,j,n\in \mathbb{N}$ a i, j sú súdeliteľné čísla.

Vypísal som si riešenia, že ako by to asi mohlo vyzerať a pre a) mi vyšlo, že to budú všetky celočíselné k-násobky i*j menšie alebo rovné ako min{i,j}*n ... pri úlohe b) , že to budú k-násobky najmenšieho spoločného násobku čísel i,j menšie alebo rovné ako min{i,j}*n. Teda $\{ a\in \mathbb{N} | k\in \mathbb{N},(a=k\cdot i\cdot j) \wedge (a\le n\cdot min\{i,j\} ) \}$ a $\{ b\in \mathbb{N} | k\in \mathbb{N},(a=k\cdot LCM\{i,j\}) \wedge (a\le n\cdot min\{i,j\} ) \}$ .
Nenapadá ma ale žiadny rozumný spôsob ako to dokázať. Za každú radu ďakujem.

byk7 · 20. 11. 2015 12:17

a) pokud jsou $i,j$ nesoudělná, pak bez újmy na obecnosti řekněme, že $i<j$ . Pokud pro nějaké přirozené $N$ platí $N\in M(i,n) \cap M(j,n)$ , pak $N=k\cdot i=l\cdot j$ pro nějaké vhodné $1\le k,l\le n$ . Z nesoudělnosti $i,j$ plyne $j\mid k,i\mid l$ , tzn. pro vhodná $a,b$ platí $k=aj,l=bi$ , pak máme $(a\cdot j)\cdot i=(b\cdot i)\cdot j\Rightarrow a=b$ . Odtud plyne, že libovolné vyhovující $N$ je nutně tvaru $N=a\cdot ij$ pro vhodné $a$ , přičemž zřejmě $aij\le in\Rightarrow a\le n/j$ .

Což by mělo korespondovat s tvým řešením.

b) Snadno převedeme na předchozí případ. Označme $d$ největší společný dělitel čísel $i,j$ , pak $i=i'd,j=j'd$ a $\gcd(i',j')=1$ . Řešíme tedy úlohu pro $M(i',dn) \cap M(j',dn)$ , akorát si budeme muset dát pozor při omezování parametru $a$ . (Ještě je asi nutné dát si pozor na případ $i=j$ .)

Asi to vyjde na ten nejmenší společný násobek, ale hned teď to nevidím (a nechce se mi to rozepisovat).

Brano · 20. 11. 2015 16:54

↑ byk7:
to b) nemas spravne

$M(4,n)=\{4,8,12,16,20,24,...\}$
$M(6,n)=\{6,12,18,24,...\}$
teda v prieniku su $\{12,24,...\}$
zatial co
$M(2,2n)=\{2,4,6,8,10,12,...\}$
$M(3,2n)=\{3,6,9,12,...\}$
a v prieniku su $\{6,12,...\}$

ale da sa to riesit v podstate tak isto ako si riesil a-cko
t.j. nech $\text{gcd}(i,j)=d$ a teda $i=ds$ a $j=dt$ a $\text{gcd}(s,t)=1$
hladame take $N=ki=lj$ a teda $ks=lt$ cize $t|k$ co znamena $k=at$ a teda $N=(at)(ds)=a(dts)=a\cdot\text{lcm}(i,j)$
a uz iba potrebujeme $N\le\min\{ni,nj\}=n\min\{i,j\}$ .

byk7 · 20. 11. 2015 18:52

↑ Brano: To se mělo skrývat pod "akorát si budeme muset dát pozor při omezování parametru $a$ ", ale asi jsem to měl víc rozepsat. :)

Schnappi · 24. 11. 2015 21:03

dakujem, pochopil som :) aspon to a), s b) mam problem...

rozumiem ze ak d:=GCD(i,j)!=1 , potom i=s*d , j=t*d, ale ako to mozem previest na predch. priklad tak ze hladam: M(s,d*n) "prienik" M(t,d*n) ? rozumiem ze s a t su v tomto pripade nesudelitelne, ale preco d*n?

Brano · 24. 11. 2015 21:11 — Editoval Brano (24. 11. 2015 21:12)

↑ Schnappi:
ved som pisal ze tak to nie je spravne, a aj to ako to opravit

Schnappi · 24. 11. 2015 22:05

vyriesene, dakujem :)

Matematické Fórum

#1 20. 11. 2015 02:49 — Editoval Schnappi (20. 11. 2015 02:51)

množiny, deliteľnosť čísel

#2 20. 11. 2015 12:17

Re: množiny, deliteľnosť čísel

#3 20. 11. 2015 16:54

Re: množiny, deliteľnosť čísel

#4 20. 11. 2015 18:52

Re: množiny, deliteľnosť čísel

#5 24. 11. 2015 21:03

Re: množiny, deliteľnosť čísel

#6 24. 11. 2015 21:11 — Editoval Brano (24. 11. 2015 21:12)

Re: množiny, deliteľnosť čísel

#7 24. 11. 2015 21:15 — Editoval Schnappi (24. 11. 2015 21:16) Příspěvek uživatele Schnappi byl skryt uživatelem Schnappi.

#8 24. 11. 2015 22:05

Re: množiny, deliteľnosť čísel

Zápatí