Matematické Fórum

bha · 20. 11. 2015 11:50

Zdravím,
nevím si rady s jedním typem příkladu:

"Stanovte x tak, aby vektor a=(1,3,5) byl lineární kombinací vektorů a1,a2,a3 (ty ostatní v matici)."

http://www.wolframalpha.com/share/clip? … 1oq5ve3j14

umím spočítat hodnost matice, ale nevím jak na tohle. Něco jsem zkoušela, ale nevycházelo mi to. Poradíte prosím někdo, jak na řešení?

Díky :)

rvyrut · 20. 11. 2015 12:07

↑ bha:

Hodnost matice udává počet lineárně nezávislých řádků (sloupců) dané matice. Pokud chceme, aby jeden řádek byl lineární kombinací ostatních řádků, jaká pak musí být hodnost matice......

bha · 20. 11. 2015 14:04

↑ rvyrut: chápu, že potřebuju, aby byla hodnost 3, spíš nevím, jak vypočítat hodnotu x..

vanok · 20. 11. 2015 14:12 — Editoval vanok (23. 11. 2015 19:04)

Ahoj↑ bha:,
Hint aby matica troch poSlednych riadkov mala hodnost 3
Metoda 1
x mozes urcit vdaka GEM
Metoda 2
Alebo aj ze tri posledne vektory boli LN, len a len vtedy ak déterminant vytvoreny tromy posledni riadkami matici je nenulovy
Poznamka
Vtedy poedne tri riadky representuju tri LN vektory, ktore tvoria jednu bazu priestoru $\mathbb{R}^3$

bha · 20. 11. 2015 14:46

↑ vanok:
Ahoj,
oboje by to šlo, ale tyhle příklady jsou v učebnici hned za hodností, přičemž je to úplně první zmínka o maticích, takže by to asi mělo nějak jít jenom pomocí té hodnosti. Zkusila jsem začít jako kdybych počítala hodnost, jeden řádek mi vypadl, ale ať za x dosadím cokoliv, nevychází to. tak nevím jestli dělám numerickou chybu nebo jak..

každopádně dík za odpověď :)

Rumburak

↑ bha:

Ahoj. Zdravím též ostatní účastníky diskuse.

1) Vidím zde otázku k upřesnění.
Vektor $\vec{a}$ má být LK vektorů $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}$ , avšak daná matice má 4 řádky.
Má to znamenat, že vektor $\vec{a}$ má být LK pouze prvních tří řádků této matice, nebo jde o nějaký
překlep v opisu zadání ? (Chtít, aby vektor $\vec{a}$ byl případně LK všech čtyř řádků by rovněž bylo
korektní úlohou, třebaže je zřejmé, že některý řádek matice by při tom byl zbytečný).

2) Když hodnost třísloupcové matice (ať již s jakýmkliv počtem 3 a více řádků) bude 3, pak požadavek
úlohy s konkretním vektorem $\vec{a}$ bude triviálně splněn. Avšak uvedená postačující podmínka není
podmínkou nutnou. Například když by už prvním řádkem dané matice byl vektor $\vec{a}$ , pak požadavek
úlohy bude splněn nezávisle na ostatních řádcích. Obecně by se mohlo stát, že $\vec{a}$ bude LK
některých řádku té matice, aniž by dimense jejich lin. obalu byla 3. Domnávám se, že je potřeba
zabývat se i touto možností.

jelena · 20. 11. 2015 15:15

Také zdravím,

já bych řekla, že autorka tématu neměla dávat zadaný vektor a=(1,3,5) (který má být lineární kombinaci dalších třech) jako první řádek matice, kde jsou další vektory. Ona ho neměla dávat nikam. Jen "donutit" další 3 vektory, ze kterých má být lineární kombinace, aby byly lineárně nezávislé.

Jelikož prostřední vektor je (-1)*"součet dalších", potom lineární nezávislost zajistíme tak, aby na místě $x$ nebylo číslo 12. Jak to vidíte? Děkuji.

Rumburak · 20. 11. 2015 15:25

↑ jelena:

Ahoj.

Řekl bych, že zásadní otázkou je, zda $\vec{a}$ se v té matici ocitlo omylem tazatelky a nebo naopak v souladu
s originálem - jako "chyták".

jelena · 20. 11. 2015 15:42

↑ Rumburak:

:-) "tazatel" je pojem ze statistických šetření. Počkáme na kolegyni - autorku (zakladatelku) tématu (můj tip je, že v zadání 4řadková matice nebyla).

bha · 20. 11. 2015 16:01

celé zadání znělo takhle:
stanovte x tak, aby vektor a byl lineární kombinací vektorů a1,a2,a3, jestliže
I.) a=(1,3,5), a1=(3,2,5), a2=(5,6,x), a3=(2,4,7)

podle výsledků se x nemá rovnat 12.
(to s tou hodností byla moje blbost.) takže jak? :D

jelena · 20. 11. 2015 16:09

↑ bha:

děkuji, asi tak:

Jelikož prostřední vektor je (-1)*"součet dalších", potom lineární nezávislost zajistíme tak, aby na místě $x$ nebylo číslo 12.

prakticky musíš mít $x$ takové, aby hodnost matice sestavena z vektorů a1, a2, a3 byla $h=3$ , pokud se podíváš na své vektory (a1, a2, a3), tak sečtením a1+a3 dostáváš a2, až na pozici, kde je x. Jedině tato pozice může ovlivnit, aby se řádek v matici nevynuloval. Vidíš to? Děkuji.

misaH · 20. 11. 2015 16:26

↑ jelena:

Tazatel je podľa slovníka českého jazyka človĕk, který se táže.

bha · 21. 11. 2015 14:03

↑ jelena:
joo, už to vidím, díky moc :)

jelena · 21. 11. 2015 16:15

↑ bha:

také děkuji, pro pořádek si, prosím, poskládej k sobě teorii:
a) podmínka pro zápis vektoru jako lineární kombinaci jiných vektorů,
b) postup pro ověření, že vektory, ze kterých bude lineární kombinace, jsou nezávislé (kontrolu hodnosti jsi zvolila dobře + podmínku, že pro Tvůj vektor a hodnost sestavené matice musí být 3) - zde jsme měli jednoduchou situaci, že bylo "hned vidět", také bys mohla na vektory a1,a2,a3 použit úpravu sestavené matice na trojúhelníkový tvar. Po úpravě zajistit, aby žádný řádek nešlo vynulovat.

Označím za vyřešené.

Rumburak

↑ bha:, ↑ jelena:

Ahoj. Techniku řešení bych viděl takto:

Sestavíme matici M se čtyřmi řádky a1=(3,2,5), a3=(2,4,7), a2=(5,6,x), a=(1,3,5) v uvedeném pořadí.
Na ni aplikujeme Gaussovu eliminační metodu, při čemž x volíme takové, aby se čtvrtý řádek vynuloval.
Že se tak stane automaticky pro libovolné x, není samozřejmé. Pokud by se totiž pro některou hodnotu x
vynuloval už třetí řádek, pak by vynulování čtvrtého řádku nebylo jisté, nicméně mohlo by nastat.

Jak již jsem psal, daný vektor a = (u, v, w) by teoreticky mohl patřit již do lin. obalu vektorů a1=(3,2,5), a3=(2,4,7),
takže hodnost matice nemusí být nutně 3.

jelena · 23. 11. 2015 14:53

↑ Rumburak:

Zdravím,

zatím jsem téma "odznačila". Pokud správně rozumím připomínce v ↑ příspěvku 15:, tak navazuje na Tvé doporučení z předchozího textu

2) Když hodnost třísloupcové matice (ať již s jakýmkliv počtem 3 a více řádků) bude 3, pak požadavek
úlohy s konkretním vektorem $\vec{a}$ bude triviálně splněn. Avšak uvedená postačující podmínka není
podmínkou nutnou. Například když by už prvním řádkem dané matice byl vektor $\vec{a}$ , pak požadavek
úlohy bude splněn nezávisle na ostatních řádcích. Obecně by se mohlo stát, že $\vec{a}$ bude LK
některých řádku té matice, aniž by dimense jejich lin. obalu byla 3. Domnávám se, že je potřeba
zabývat se i touto možností.

Tedy nestačí (nebo není nutné?) překontrolovat (najít x) tak, aby a1, a2, a3 byly lineárně nezávislé, musíme zkontrolovat, že vektor $\vec{a}$ není lineární kombinace např. jen jednoho, nebo 2 řádků. Protože i tak by byl splněn požadavek vytvoření lineární kombinace.

Naopak do "souboru" vektorů můžeme přidávat další třisloupcové (prakticky - doplňovat řádky) - což je snad jasné - další vektory tohoto typu můžeme opět zapsat pomocí "bázových vektorů", u kterých to ověření je.

Nebo jsem to celé překombinovala? Vyřešili jsme úlohu, když jsme jen našli, že x libovolné, jen $x\neq 12$ , nebo jsme ještě měli něco podniknout (teď nemyslím samotné sestavení lineární kombinace), ale ke kroku ověření? Děkuji.

vanok · 23. 11. 2015 19:22

Pozdravujem ↑ jelena:,
Je pravda ze cvicenie je trochu nesikovne polozene. Ale je to skutocny text?
Je tazko uhadnut, motivacie ako aj o ocakavania autora cvicenia.
Jedna mozna formulacia je
1) urcite x tak aby vektory a1, a2, a3 tvorili jednu bazu priestoru.
( cakana metoda GEM alebo pouzitie determinantu)

2) vyjadrite vtedy vector a v tejto bazy.

3) pre ktore x nie je mozne vyjadrit vektor a ako LK vektorov a1, a2, a3

Rumburak

↑ jelena:

Ahoj. Vycházím z textu zadání

"Stanovte x tak, aby vektor a=(1,3,5) byl lineární kombinací vektorů a1,a2,a3 (ty ostatní v matici)."

z nichž jeden závisí na x.

Bez hlubšího rozboru (zejména bez zřetele ke konkretnímu zadání vektorů) můžeme říci, že k vyřešení
úlohy stačí zajistit, aby vektory a1,a2,a3 tvořily bázi příslušného prostoru. Avšak v závislosti na konkretním
zadání oněch vektorů by mohlo existovat i jemnější řešení - a sice, že by vektor "a" byl v lineáním obalu
menší množiny, než je {a1,a2,a3}, takže množina {a1,a2,a3} by nemusela být bází. Netvrdím, že v tomto
případě tomu tak je (nezkoumal jsem to), chtěl jsem jen upozornit na takovou možnost.

vanok · 24. 11. 2015 12:24

Pozdravujem ↑ Rumburak:,
Prave preto som dal otazku 2) v ↑ vanok:, pretoze najdena odpoved moze dat miesto na diskuziu ak treba.

Cize nase riesenia sa harmonicky doplnuju.

Rumburak · 24. 11. 2015 14:15

↑ vanok:

Také zdravím :-).

jelena · 24. 11. 2015 19:59

↑ vanok:, ↑ Rumburak:,

zdravím vás,

snad už mi to došlo. Zaměňuji totiž nutnou a dostačující podmínku pro požadavky: "být lineární kombinaci" a "být bázi" a domnívám se, že předpoklady jsou stejné. A tomu tak není, nebo nemusí to vždy platit - o to jde, vážený kolego ↑ Rumburak:? :-) Lineární kombinaci můžeme sestavit i využitím (doplněním navíc) lineárně závislého vektoru a také nemusíme mít nutně požadovanou hodnost. Z 3 lineárně nezávislých vektorů (zabezpečením hodnosti h=3) máme "jistotu" sestavení, ale úlohu jsme mohli splnit i při nedodržení této podmínky.

:-) poskládala jsem to alespoň trochu? Nebo při dalším uvažování u mne se zcela projeví syndrom stonožky, tak raději toho uvažování nechám.

Úloha byla:

stanovte x tak, aby vektor a byl lineární kombinací vektorů a1,a2,a3, jestliže
I.) a=(1,3,5), a1=(3,2,5), a2=(5,6,x), a3=(2,4,7)

a určitě je více jednoznačná formulace zadání od kolegy ↑ vanok:

1) urcite x tak aby vektory a1, a2, a3 tvorili jednu bazu priestoru.
( cakana metoda GEM alebo pouzitie determinantu)

2) vyjadrite vtedy vector a v tejto bazy.

3) pre ktore x nie je mozne vyjadrit vektor a ako LK vektorov a1, a2, a3

Děkuji za diskusi.

Jelena

vanok · 24. 11. 2015 20:17

Pozdravujem ↑ jelena:
Na strednej skole, je tazko dat nieco komplikovanejsie ako text co je vyssie napisany.

jelena · 24. 11. 2015 23:42

↑ vanok:

Také pozdrav, já dokonce mám dojem, že na střední škole není zaváděn pojem "báze" (vektorového prostoru).

Matematické Fórum

#1 20. 11. 2015 11:50

matice, lineární kombinace

#2 20. 11. 2015 12:07

Re: matice, lineární kombinace

#3 20. 11. 2015 14:04

Re: matice, lineární kombinace

#4 20. 11. 2015 14:12 — Editoval vanok (23. 11. 2015 19:04)

Re: matice, lineární kombinace

#5 20. 11. 2015 14:46

Re: matice, lineární kombinace

#6 20. 11. 2015 14:50 — Editoval Rumburak (20. 11. 2015 14:54)

Re: matice, lineární kombinace

#7 20. 11. 2015 15:15

Re: matice, lineární kombinace

#8 20. 11. 2015 15:25

Re: matice, lineární kombinace

#9 20. 11. 2015 15:42

Re: matice, lineární kombinace

#10 20. 11. 2015 16:01

Re: matice, lineární kombinace

#11 20. 11. 2015 16:09

Re: matice, lineární kombinace

#12 20. 11. 2015 16:26

Re: matice, lineární kombinace

#13 21. 11. 2015 14:03

Re: matice, lineární kombinace

#14 21. 11. 2015 16:15

Re: matice, lineární kombinace

#15 23. 11. 2015 09:18 — Editoval Rumburak (23. 11. 2015 09:20)

Re: matice, lineární kombinace

#16 23. 11. 2015 14:53

Re: matice, lineární kombinace

#17 23. 11. 2015 19:22

Re: matice, lineární kombinace

#18 24. 11. 2015 12:14 — Editoval Rumburak (24. 11. 2015 14:17)

Re: matice, lineární kombinace

#19 24. 11. 2015 12:24

Re: matice, lineární kombinace

#20 24. 11. 2015 14:15

Re: matice, lineární kombinace

#21 24. 11. 2015 19:59

Re: matice, lineární kombinace

#22 24. 11. 2015 20:17

Re: matice, lineární kombinace

#23 24. 11. 2015 23:42

Re: matice, lineární kombinace

Zápatí