Matematické Fórum

fghfghj · 28. 11. 2015 14:16

Proč řešením této rovnice je konstanta?

$\frac{w'(t)}{w(t)}=\frac{3v''(x)}{v(x)}=c$

Děkuji.

jelena · 28. 11. 2015 15:46

Zdravím,

teď tomu není příliš rozumět - je tato "dvojrovnice" soustava rovnic? Co vyjadřuje? Je to originál zadání nebo část některého textu? Děkuji.

Jj · 28. 11. 2015 16:00

↑ fghfghj:

Dobrý den.

Ta konstanta zřejmě nebude řešením rovnice. Možná jde o nějaký vztah, který byl upraven na rovnost $\frac{w'(t)}{w(t)}=\frac{3v''(x)}{v(x)}$ .
Levá strana zřejmě závsisí jen na t, pravá jen na x. Pokud se obě strany rovnají bez ohledu na hodnoty t a x, tak bych řekl, že se obě rovnají shodné konstantě 'c'. Pak by se asi teprve hledala řešení rovnic

$w'(t) = c\cdot w(t), \quad v''(x)=c \cdot v(x)$

Ovšem záleží na kontextu.

fghfghj · 28. 11. 2015 17:51

Jedná se o rovnici šíření tepla u fourierových řad.

Mám tedy hledat separabilní řešení, tedy řešení tvaru $u(x,t)=v(x)w(t)$

Této diferenciální rovnice s počáteční podmínkou
$u'_t=3u''_{xx}$
$u'_x(0,t)=u'_x(\pi,t)=0$

tj. dosadíme do rovnice řešení tohoto tvaru a vyjde:

$w'(t)v(x)=3v''(x)w(t)$

Po úpravě dostaneme:

$\frac{w'(t)}{w(t)}=\frac{3v''(x)}{v(x)}$

Proč se toto rovná konstantě?

$\frac{w'(t)}{w(t)}=\frac{3v''(x)}{v(x)}=c$

To se pak dále řeší tak, že se rozdělí postup na 3 "cesty", kde c je větší než nula, menší než nula a rovno nule (ten zvytek již chápu). Následně, jakmile se dojde k výsledku hledá taková řešení, které splňují ještě třetí podmínku (tu jsem tu neuvedl). To vede na hledání fourierových koeficientů...

Děkuji.