Matematické Fórum

Contemplator · 29. 11. 2015 12:41

Nazdar: Je príklad: Výpočtom limity nájsť deriváciu funkcue v bode a
$y=2\sin 3x : a=\frac{\pi }{6}$ alebo $y=1+2lnx : a=1$

viem že sa to robí pomocou defínicie derivácie cez limitu, dostanem sa do stavu kedy mám oba príklady $\frac{0}{0}$ a neviem ako pokračovať...teda pre1. - $\frac{2\sin 3x-2}{x-\frac{\pi }{6}}$
pre2. - $\frac{2lnx}{x-1}$

môžte mi poradiť?

jarrro · 29. 11. 2015 13:12 — Editoval jarrro (29. 11. 2015 20:18)

$\frac{2\sin{$3x$}-2}{x-\frac{\pi }{6}}\stackrel{t=x-\frac{\pi}{6}}{=}2\frac{\sin{$3t+\frac{\pi}{2}$}-1}{t}=2\frac{\cos{$3t$}-1}{t}=-18t\frac{1-\cos{$3t$}}{9t^2}$
$\frac{2\ln{$x$}}{x-1}\stackrel{t=x-1}{=}\frac{2\ln{$t+1$}}{t}$

Contemplator · 29. 11. 2015 14:51

↑ jarrro: nerozumiem tomu poslednému kroku v 1. riadku - si to vynásobil 9t,? a prečo?
a tiež neviem prečo je ten 2 riadok hned od začiatku hentak zapísaný

jarrro · 29. 11. 2015 20:22

v 2. riadku som mal preklep opravil som a v 1. riadku som preto rozširoval 9t aby tam vzniklo
$\frac{1-\cos{$s$}}{s^2}$

Contemplator · 30. 11. 2015 17:42

↑ jarrro: a ... $\frac{1-\cos{$s$}}{s^2}$ je načo dobré?

jarrro · 30. 11. 2015 18:29

lebo to má skoro tabuľkovú limitu v nule rovnú $\frac{1}{2}$

Contemplator · 30. 11. 2015 20:40

↑ jarrro: takže to je akoby pravidlo že: $\frac{1-\cos{$s$}}{s^2}$ = $\frac{1}{2}$ ale odkiaľ to vychádza prosím .., ,,lebo to má skoro tabuľkovú limitu v nule rovnú $\frac{1}{2}$ to je ako napr. $\frac{\sin x}{x}=1$ nie? tiež nerozumiem , potrebujem nejaké spojenie :/

runcorne · 30. 11. 2015 21:10

↑ Contemplator:

Ahoj,

zřejmě jde o použití vzorce pro poloviční úhel :

$2 \cos^2 \frac{s}{2} =1 -\cos s$

Quimby · 01. 12. 2015 08:03

Dá se lehce dokázat:
Převedením jedničky podle vzorce a cosinu pro poloviční úhel.
$\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{\ sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}-\cos x}{x^2}=\frac{\ sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}-[cos^2 \frac{x}{2} - sin^2 \frac{x}{2}]}{x^2}=2.\frac{\ sin^2\frac{x}{2}}{x^2}$
Nyní se to ještě trochu upraví
$\frac{\ sin^2\frac{x}{2}}{\frac{x^2}{2}}=\frac{\ sin^2\frac{x}{2}}{\frac{x^2}{4}}*\frac{1}{2}=(\frac{\ sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}})^{2}*\frac{1}{2}\Rightarrow 1/2$

jarrro · 01. 12. 2015 10:09

alebo
$\frac{1-\cos{$s$}}{s^2}=\frac{\sin^2{$s$}}{s^2$1+\cos{\(x$}\)}=\frac{1}{1+\cos{$s$}}$\frac{\sin{\(s$}}{s}\)^2$
rovnosť
$\lim_{s\to 0}{\frac{\sin{$s$}}{s}}=1$
vyplýva z nerovností
$\cos{$s$}\leq\frac{\sin{$s$}}{s}\leq\frac{1}{\cos{$s$}}$
ktorá platí v okolí nuly

Matematické Fórum

#1 29. 11. 2015 12:41

Výpočtom limity nájsť deriváciu

#2 29. 11. 2015 13:12 — Editoval jarrro (29. 11. 2015 20:18)

Re: Výpočtom limity nájsť deriváciu

#3 29. 11. 2015 14:51

Re: Výpočtom limity nájsť deriváciu

#4 29. 11. 2015 20:22

Re: Výpočtom limity nájsť deriváciu

#5 30. 11. 2015 17:42

Re: Výpočtom limity nájsť deriváciu

#6 30. 11. 2015 18:29

Re: Výpočtom limity nájsť deriváciu

#7 30. 11. 2015 20:40

Re: Výpočtom limity nájsť deriváciu

#8 30. 11. 2015 21:10

Re: Výpočtom limity nájsť deriváciu

#9 01. 12. 2015 08:03

Re: Výpočtom limity nájsť deriváciu

#10 01. 12. 2015 10:09

Re: Výpočtom limity nájsť deriváciu

Zápatí