Matematické Fórum

fghfghj

Mám vypočítat integrál:

$\int \int \int ze^{-x^2-y^2-z^2} dxdydz$

kde je definiční obor D:

$x^2+y^2+z^2\le 1$ a $z\ge \sqrt{x^2+y^2}$

Jedná se tedy o průnik koule s kuželem s vrcholem v počátku.

Vhodné je převést do sférických souřadnic, tedy provést substituci:

$x=rsin\varphi cos \vartheta$
$y=rsin\varphi sin \vartheta$
$z=rcos\varphi$

Identifikovat meze:
$0\le r\le 1$
$0\le \vartheta \le 2\pi$
$0\le \varphi \le \frac{\pi}{4}$

A tranformovat integral na:
$\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}rcos\varphi e^{-r^2(sin^2\varphi (cos^2\vartheta -sin^2\vartheta )-cos^2\varphi )} d\varphi d\vartheta dr$

Jenže jak jej upravit dál aby byl nějak snáze řešitelný?

jelena · 28. 11. 2015 21:28

Zdravím,

pokud nic nepřehlížím, tak při integrování podle jednotlivých proměnných $r\cdot e^{-r^2}$ je na substituci (zbytek jsou konstanty), druhé mocniny sin v exponentu $\cos \varphi \cdot e^{f(\sin^2 \varphi)}$ má k sobě $\cos(\varphi)$ , tedy obdobná substituce.
$(\cos^2 \vartheta -\sin^2 \vartheta )=\cos(2\vartheta)$ .

jak se to jeví? Děkuji.

fghfghj

Děkuji za pomoc.

Nakonec jsem špatně převedl na polární souřadnice, takže to vycházelo divně. Každopádně ty trigonometrické identity se vyplatily. Děkuji. :)

Matematické Fórum

#1 28. 11. 2015 19:18 — Editoval fghfghj (28. 11. 2015 19:25)

Trojný integrál

#2 28. 11. 2015 21:28

Re: Trojný integrál

#3 29. 11. 2015 18:03 — Editoval fghfghj (29. 11. 2015 18:10)

Re: Trojný integrál

Zápatí