Matematické Fórum

Quimby · 29. 11. 2015 21:25

Dobrý večer, nevím si rady s následující limitou:
$\lim_{n\to\infty }(\frac{2^3-1}{2^3+1}*\frac{3^3-1}{3^3+1}*...*\frac{n^3-1}{n^3+1})=?$

Pokud bych si zavedl například substituci $a_n = n^3-1$ Tak po úpravě dostanu
$\lim_{n\to\infty }(\frac{a_2}{a_2+2}*\frac{a_3}{a_3+2}...\frac{a_n}{a_n+2})$
V tom je teda například vidět, že každý zlomek je menší než 1. Ovšem dál vůbec nevím co s tím. Nejspíš se nějak zbavit nekonečného součinu, ale nevím jak.Jinak výsledek by měl vyjít 2/3.

Takže pokud by mě někdo dokázal popostrčit správným směrem, byl bych vděčný.

Bati · 29. 11. 2015 23:12

Ahoj,
je to jen algebraický trik s posunutím mezí:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

byk7 · 29. 11. 2015 23:17

Nástin: $a^3\pm1=(a\pm1)$a^2\mp a+1$$ , takže po jistém přeuspořádání dostaneme činitele tvaru $\frac{k^2+k+1}{k^2-k+1}=\frac{$k+\tfrac{1}{2}$^2+\tfrac{3}{4}}{$k-\tfrac{1}{2}$^2+\tfrac{3}{4}}$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Quimby · 30. 11. 2015 00:17

↑ Bati:
Posouvání mezí, nojo to mi mělo dojít. Holt se sumou mám větší zkušenosti než se součinem. Každopádně díky, pak je mi to už jasné...
↑ byk7:
Ten zlomek vpravo chápu, ale pak mi není moc jasné to dosazení, kam se ztratil ten člen $(a\pm1)$ ?

byk7 · 30. 11. 2015 00:37

↑ Quimby:

Ten se neztratil, ale vytkl, takže by tam mělo být něco jako $\frac{(n-1)!}{(n+1)!/2}\cdot\frac{n^2+n+1}{2^2-2+1}$ .

Matematické Fórum

#1 29. 11. 2015 21:25

Limita nekonečného součinu

#2 29. 11. 2015 23:12

Re: Limita nekonečného součinu

#3 29. 11. 2015 23:17

Re: Limita nekonečného součinu

#4 30. 11. 2015 00:17

Re: Limita nekonečného součinu

#5 30. 11. 2015 00:37

Re: Limita nekonečného součinu

Zápatí