Matematické Fórum

ironhide · 30. 11. 2015 12:47

Zdravím,

mohl byste mi prosím někdo vysvětlit jak to spočítat?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-11/84039_highlight4.PNG

Mockrát děkuji

Rumburak · 30. 11. 2015 12:56

↑ ironhide:

Ahoj.

Po úpravě zadání na tvar

$\lim_{x \to \mathrm{e}} \frac{\ln x - \ln \mathrm{e} }{x - \mathrm{e}}$

snadno nahlédneme, že výsledkem je derivace logaritmické funkce v bodě $\mathrm{e}$ .

ironhide · 30. 11. 2015 13:02

↑ Rumburak:

Pardon, ještě jsem zapomněl napsat , že nemůžu použít l'hopitala,

potřebuju tam nějak nejspíš aplikovat následující limitu:

$\lim_{x\to0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1$

ale prostě to nevidím:(

Rumburak

↑ ironhide:

O pravidle pana markýze de L'Hospital jsem nic nepsal.

Můžeme využít substituce $x - \mathrm{e} = h$ a potom bude

$\lim_{x \to \mathrm{e}} \frac{\ln x - \ln \mathrm{e} }{x - \mathrm{e}} = \lim_{h \to 0} \frac{\ln (\mathrm{e}+h) - \ln \mathrm{e} }{h}$ .

Pravá strana je derivací log. fce v bodě $\mathrm{e}$ , a to podle samotné definice derivace. K tomuto konstatování
L'Hospitalovo pravidlo nepotřebujeme.

Alternativa:

$\lim_{h \to 0} \frac{\ln (\mathrm{e}+h) - \ln \mathrm{e} }{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\ln \mathrm{e}(1+\frac{h}{\mathrm{e}}) - \ln \mathrm{e} }{h} = ...$ ,

pak použít $\ln ab = \ln a + \ln b (a, b > 0) , \frac{h}{\mathrm{e}} = t \to 0$ a "Tvůj" vzorec.

Matematické Fórum

#1 30. 11. 2015 12:47

limita funkce (eulerovo číslo a logaritmus)

#2 30. 11. 2015 12:56

Re: limita funkce (eulerovo číslo a logaritmus)

#3 30. 11. 2015 13:02

Re: limita funkce (eulerovo číslo a logaritmus)

#4 30. 11. 2015 13:29 — Editoval Rumburak (30. 11. 2015 13:35)

Re: limita funkce (eulerovo číslo a logaritmus)

Zápatí