Matematické Fórum

terymath · 30. 11. 2015 11:13

Zdravím. Mám tady takovou hezkou slovni ulohu. Díky moc za pomoc.

Mám nadrz o objemu $425 m^{3}$ , která se naplnila ze 2 přívodů.
Ten první byl otevřen o 5 hodin dýl než ten druhý.
Kdyby byl 1. přívod otevřen tak dlouho, jako byl otevřen ve skutečnosti 2., a 2. naopak tak dlouho jako 1., pak by přiteklo 1. přívodem 1/2 množství vody než 2. přívodem.
Pokud budou oba přívody otevřeny společně, naplní se nádrž za $18$ hodin.
Otázka: Jak dlouho byl otevren 2. privod?

Rumburak

↑ terymath:

Ahoj.

Označme $V = 425 m^{3}$ objem nádrže a zaved'me neznámé

$a$ - výkonnost prvního přívodu (v metrech krychlových za hodinu),
$b$ - výkonnost druhého přívodu (v metrech krychlových za hodinu),
$x$ - skutečná doba "práce" prvního přívodu (v hodinách),
$y$ - skutečná doba "práce" druhého přívodu (v hodinách) - zejména ta nás zajímá.

Ze zadání plynou rovnice

(1) $18a + 18b = V$
(2) $ax + by = V$ ,
(3) $x - y = 5$ ,
(4) $ay = \frac{1}{2}\cdot bx$ .

terymath · 30. 11. 2015 14:47

↑ Rumburak:
A tyto rovnice mám řešit jakou soustavu rovnic? Protože to vyjdou celkem složité výsledky

jelena · 30. 11. 2015 20:24

Zdravím,

↑ terymath: tak, jak má kolega ↑ Rumburak: (sestavení bych věřila, jelikož kolega je v oboru zdatný), tak z (1) a (2) rovnice:

$18a + 18b = ax + by$ odsud:
$a(18-x)=b(y-18)$ , tuto rovnici bych podělila s rovnici (4) (nebo můžeš dosadit odvození z 4. rovnicí např. pro $a$ ). Po úpravě bys měla mít rovnici pouze s $x, y.$ K tomu do soustavy $x - y = 5$ . Jak to dopadlo? Děkuji.

Cheop · 01. 12. 2015 12:20

↑ terymath:
Mělo by Ti vyjít:
$a=\frac{85}{54}\left(32-\sqrt{679}\right)\\b=\frac{85}{54}\left(\sqrt{679}-17\right)\\x=\frac{37+\sqrt{679}}{3}\\y=\frac{22+\sqrt{679}}{3}$

jelena · 01. 12. 2015 12:58

↑ Cheop:

Zdravím a děkuji, zbývá sehnat správný průtokoměr, který to bude zaznamenávat. Navrhuji úlohu rozšířit na požadavek - v jakých jednotkách je třeba měřit objem, aby výsledek byl "pěkný" (přitom samotná nádrž má rozměry slušné).

Cheop · 01. 12. 2015 13:16 — Editoval Cheop (01. 12. 2015 13:32)

Zdravím
↑ jelena:
Výsledek by byl "pěkný" pokud by vše zůstalo, jen by se nádrž
oběma přítoky naplnila za 17 hodin
Pak by výsledek byl:
$a=10\\b=15\\x=20\\y=15$
Výpočet WA

jelena · 01. 12. 2015 21:34

↑ Cheop:

děkuji, kontrolovala jsem rozklad 425 na součin, také mi tak vyšlo, že za 17 by bylo pěknější :-) Ale líbil se mi zápis $a=\frac{85}{54}\left(32-\sqrt{679}\right)$ - představila jsem si takový zápis ve vyúčtování od vodáren.

Matematické Fórum

#1 30. 11. 2015 11:13

Slovní úloha (spol prace)

#2 30. 11. 2015 12:03 — Editoval Rumburak (30. 11. 2015 13:01)

Re: Slovní úloha (spol prace)

#3 30. 11. 2015 14:47

Re: Slovní úloha (spol prace)

#4 30. 11. 2015 20:24

Re: Slovní úloha (spol prace)

#5 01. 12. 2015 12:20

Re: Slovní úloha (spol prace)

#6 01. 12. 2015 12:58

Re: Slovní úloha (spol prace)

#7 01. 12. 2015 13:16 — Editoval Cheop (01. 12. 2015 13:32)

Re: Slovní úloha (spol prace)

#8 01. 12. 2015 21:34

Re: Slovní úloha (spol prace)

Zápatí