Matematické Fórum

ondra.jurij · 01. 12. 2015 19:13

Dobrý večer, přátelé,
Mám ještě nějáké trable s vyšetřováním průběhu funkce:
Ad.1
Něják mi nevychází ta limita, myslím, že to letí k nekonečnu, ale jen se domnívám
Pokud by se stalo, že se to bude skutečně rovnat nějákému nekonečnu, znamená to, že daná funkce nemám asymptoty?
Ad. 2
Zde je ten samý pčípad jako o prvního dotazu, zkrátka se mi nezdá, že by to bylo nekonečno
Ad.3
Položil jsem třetí derivaci rovnu 0 a tato rovnice nemá řešení, znamená to, že funkce není konkávní ani konvexní?

Předem děkuji za odpovědi a přeji příjemný zbytek večera

Pritt · 01. 12. 2015 20:08 — Editoval Pritt (01. 12. 2015 20:11)

↑ ondra.jurij:

Zdravím, k té 1) když si ve jmenovateli vytkneš pouze $x^{2}$ tak to bude hned vidět, kam to půjde. Jinak to jde vidět hned z toho zadání.
2) zase vytkni ve jmenovateli $x$ a v citateli $x^{2}$
3) $f(x) = \frac{x^{2}}{2x-4} \nl f'(x)=\frac{2x(2x-4)-2x^{2}}{(2x-4)^{2}} = \frac{2x^{2}-8x}{(2x-4)^{2}} \nl f''(x)=\frac{(4x-8)(2x-4)^{2}-(8x-16)(2x^{2}-8x)}{(2x-4)^{4}}$
A stačí doupravit

ondra.jurij

Ta třetí derivace vyjde jak píšu $\frac{4}{(x-2)^3}$ a to, když dám rovno 0, tak nevím jak zjistit zda je konkávní nebo konvexní

jelena · 01. 12. 2015 22:52

Zdravím,

↑ ondra.jurij: toto $\frac{4}{(x-2)^3}$ je ale 2. derivace zadané funkce - je tak? Jak máte ve studijním materiálu stanoveny podmínky pro určování konvexnosti/konkávnosti funkce? Děkuji.

ondra.jurij · 01. 12. 2015 23:00

↑ jelena:
Teď jsem trošku zaskočen, vždy jsem to počítal, z druhé derivace, kterou jsem položil rovnu 0 ... první na intervaly (rostoucí, klesající) a druhou na právě konvexnost/konkávnost

jelena · 01. 12. 2015 23:17

↑ ondra.jurij:

v předchozím příspěvku jsi ale napsal, že jde o "třetí derivaci" - k tomu je moje poznámka, že toto je druhá derivace. K využití pro vyšetření, zda je funkce konvexní nebo konkávní lze použit znaménko 2. derivace Odkaz. Je možné ze zápisu $\frac{4}{(x-2)^3}$ určit jeho znaménko?

Nulovým bodem (kdy výraz je nulový nebo neexistuje) v tomto případě máme $x=2$ (tento fakt jsi však již zohlednil při stanovení def. oboru funkce a přetrvává také i u def. oboru derivace). V tabulce znamének ho použiješ, nebude však k němu hodnota funkce. Tak, prosím, znaménka pro $\frac{4}{(x-2)^3}$ . Děkuji.

ondra.jurij · 01. 12. 2015 23:36

Strašně moc děkuju. Využil jsem toho bodu nespojitosti a mám, že v intervalu $(-\infty,2)$ je znaménko - (konkávní) a v intervalu $(2,\infty)$ je znaménko + (konvexní)

Mohl bych se ještě zeptat, těm limitám, obě mi pro $+\infty$ vyšly $-\infty$ , znamená to, že ty asymptoty prostě nejsou?

jelena · 01. 12. 2015 23:48

↑ ondra.jurij:

ano, znaménko 2. derivace mám stejně a také stejný závěr o konvexní/konkávní.

Ohledně limit - 1. výpočet na scanu se vztahuje k nějaké jiné funkci. Pro funkci $f(x) = \frac{x^{2}}{2x-4}$ vyšetřujeme asymptotu bez směrnice (vertikální) v bodě $x=2$ a asymptotu se směrnici ve tvaru $y=kx+q$ Odkaz. A to na scanu nevidím ani jedno.
Ještě laskavá moderátorská - zkontroluj, prosím, zda obrázek, který jsi vložil, je pohodlně čitelný (lepší je zapisovat v TeX), napravo od okna zprávy je Editor TeX, děkuji za pochopení.

ondra.jurij · 02. 12. 2015 00:19

Takže mám dvě funkce

$f(x) = \frac{1-x^2}{1+x^2}$
$f(x) = \frac{2x^2}{2x-4}$

A u potřebuji spočítat asymptoty

U první mi to vyšlo takto
Pro "k"
$\lim_{x\to\infty } (\frac{1-x^2}{1+x^2})/{x} = 0$

Pro "q"
$\lim_{x\to\infty } (\frac{1-x^2}{1+x^2}-{x}) = -\infty$

U druhé mi to vyšlo takto
Pro "k"
$\lim_{x\to\infty } (\frac{x^2}{2x-4})/{x} = 1/2$

Pro "q"
$\lim_{x\to\infty } (\frac{x^2}{2x-4}-{x}) = -\infty$

Ty limity jsem rozepsal a ověřil si snad správně v WA, ale přiznám se, že bez mučení nevím, jak s tím naložit

Chápu,když je funkce nespojitá, že bude bez směrnice ve 2 (u druhé funkce), ale stejně bych byl raději za nějaké bližší vysvětlení ... Děkuji moc

jelena · 02. 12. 2015 00:39

↑ ondra.jurij: děkuji, pěkný zápis.

u první pro q platí $\lim_{x\to\infty } $\frac{1-x^2}{1+x^2}-0\cdot{x}$ =...$ (ve vzorci na závěr je ...-kx)

u druhé - stejná chyba, po opravě ještě zkontroluj výsledek, lze také kontrolovat ve WA.

Chápu,když je funkce nespojitá, že bude bez směrnice ve 2 (u druhé funkce), ale stejně bych byl raději za nějaké bližší vysvětlení .

asymptota bez směrnice se musí prokázat - obvykle se použije vyšetření limity funkce k x->2 zprava a zleva, alespoň jedna limita musí být nevlastní. Nejlépe se držet postupů, co máte v materiálech - jsou online? Děkujui za upřesnění.

ondra.jurij · 02. 12. 2015 00:52

↑ jelena:
Tak tady už jsem úplně mimo ... Mohl bych požádat ještě o rozepsání alespon jedné té limity?

jelena · 02. 12. 2015 12:12

Zdravím,

reaguješ na kterou asymptotu?

Pokud jde o asymptoty bez směrnice (u 1. funkce nebude žádná, jelikož def. obor jsou všechna R a nemáme žádný bod nespojitosti). U druhé funkce $f(x) = \frac{2x^2}{2x-4}$ musíme vyšetřovat chování funkce okolo bodu $x=2$ (v tomto bodě není funkce definována, ovšem nevíme zatím, co funkce provádí při přiblížení k tomuto bodu) Odkaz - viz obrázek pro body nespojitosti, asymptota je pouze v bodě označeném písmenem e.

Hodně podrobně je ve sbírce- viz příklad 262, ve kterém nebyla asymptota bez směrnice a je vidět, jak se to prokázalo. Naopak příklad 264 asymptoty má (jak se směrnici, tak i bez), podívej se, prosím, jak se určovaly. Je to jasnější? Děkuji.

Ještě v příspěvcích trochu opravím závorky, aby bylo vidět, že limita se vztahuje na celý zápis, který je za limitou.

ondra.jurij · 02. 12. 2015 12:57

Děkuju už, jsem na správné cestě :)

Ještě bych měl jeden dotaz k řešení limit

$\lim_{x\to1}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{ln x})$

L'Hospital asi nepomůže, ale stále to hází $(\frac{1}{0}-\frac{1}{0})$

jelena · 02. 12. 2015 13:17

↑ ondra.jurij:

děkuji za pozdrav ze správných cest, s limitou, prosím, pokračuj v původním tématu s kolegou Jj.

Matematické Fórum

#1 01. 12. 2015 19:13

Průběh funkce - dotazy

#2 01. 12. 2015 20:08 — Editoval Pritt (01. 12. 2015 20:11)

Re: Průběh funkce - dotazy

#3 01. 12. 2015 20:20 — Editoval ondra.jurij (01. 12. 2015 20:28)

Re: Průběh funkce - dotazy

#4 01. 12. 2015 22:52

Re: Průběh funkce - dotazy

#5 01. 12. 2015 23:00

Re: Průběh funkce - dotazy

#6 01. 12. 2015 23:17

Re: Průběh funkce - dotazy

#7 01. 12. 2015 23:36

Re: Průběh funkce - dotazy

#8 01. 12. 2015 23:48

Re: Průběh funkce - dotazy

#9 02. 12. 2015 00:19

Re: Průběh funkce - dotazy

#10 02. 12. 2015 00:39

Re: Průběh funkce - dotazy

#11 02. 12. 2015 00:52

Re: Průběh funkce - dotazy

#12 02. 12. 2015 12:12

Re: Průběh funkce - dotazy

#13 02. 12. 2015 12:57

Re: Průběh funkce - dotazy

#14 02. 12. 2015 13:17

Re: Průběh funkce - dotazy

Zápatí