Matematické Fórum

p3c4 · 03. 12. 2015 18:43 — Editoval p3c4 (03. 12. 2015 18:50)

Zdravím,

prosím o nasměrování, jak postupovat při řešení tohoto příkladu.

$\lim_{n\to\infty} n \ln (\frac{n-1}{n+1})$

Podle Mathematicy by to mělo vyjít -2, ale nejsem schopen se k tomu nijak dopracovat.

EDIT: Podařilo se to upravit na rozdíl dvou limit $\lim_{n\to\infty} \ln (1-\frac{1}{n})^n - \lim_{n\to\infty} \ln (1+\frac{1}{n})^n$ ale s tím už taky nevím jak dál, možná je to slepá cesta...

holyduke · 03. 12. 2015 18:49

↑ p3c4:
směřuj to na L´Hospitala

p3c4 · 03. 12. 2015 18:51

↑ holyduke:
Bohužel L´Hospitala máme zakázáno použít

Al1 · 03. 12. 2015 19:02

↑ p3c4:

Zdravím,

úpravu na limitu typu $\lim_{n\to\infty }(1+\frac{1}{n})^{n}$ použij přímo z první limity

$\lim_{n\to\infty }\ln\bigg( \frac{n-1}{n+1}\bigg)^{n}=\lim_{n\to\infty }\ln \bigg(1+\frac{-2}{n+1}\bigg)^{n}$

zaveď substituci

$\frac{-2}{n+1}=k$

( substituci lze provést hned od začátku nahraď celý argument logaritmu novou proměnnou)

holyduke · 03. 12. 2015 19:11

p3c4 napsal(a):
EDIT: Podařilo se to upravit na rozdíl dvou limit $\lim_{n\to\infty} \ln (1-\frac{1}{n})^n - \lim_{n\to\infty} \ln (1+\frac{1}{n})^n$ ale s tím už taky nevím jak dál, možná je to slepá cesta...

to je dobrá cesta :)

Jj · 03. 12. 2015 19:46 — Editoval Jj (03. 12. 2015 19:47)

↑ p3c4:

$\lim_{n\to\infty} \ln (1-\frac{1}{n})^n - \lim_{n\to\infty} \ln (1+\frac{1}{n})^n$

Obě limity v argumentech logaritmů jsou tabulkové limity, takže už máte vystaráno (chytrá úprava).

p3c4 · 03. 12. 2015 19:53

↑ holyduke:

Tady už bohužel nevím, jak upravit $\lim_{n\to\infty} \ln (1-\frac{1}{n})^n$ abych dostal $-1$ a a $\lim_{n\to\infty} \ln (1+\frac{1}{n})^n$ abych dostal $1$ . Podle jaké věty bych měl postupovat?

p3c4 · 03. 12. 2015 19:54

↑ Jj:
Aha, super, to mi nedošlo, že to jsou tabulkové hodnoty. Nikde v materiálech je zmíněny nemáme. Dá se to případně nějak dál upravovat?

Jj · 03. 12. 2015 19:59

↑ p3c4:

$\lim_{n\to\infty} (1-\frac{1}{n})^n = \frac{1}{e}, \quad \lim_{n\to\infty} \ln (1+\frac{1}{n})^n = e$ , e = Eulerovo číslo

p3c4 · 07. 12. 2015 12:03

Vyřešeno, díky všem za pomoc

Matematické Fórum

#1 03. 12. 2015 18:43 — Editoval p3c4 (03. 12. 2015 18:50)

Limita posloupnosti s lineárním logaritmem

#2 03. 12. 2015 18:49

Re: Limita posloupnosti s lineárním logaritmem

#3 03. 12. 2015 18:51

Re: Limita posloupnosti s lineárním logaritmem

#4 03. 12. 2015 19:02

Re: Limita posloupnosti s lineárním logaritmem

#5 03. 12. 2015 19:11

Re: Limita posloupnosti s lineárním logaritmem

p3c4 napsal(a):

#6 03. 12. 2015 19:46 — Editoval Jj (03. 12. 2015 19:47)

Re: Limita posloupnosti s lineárním logaritmem

#7 03. 12. 2015 19:53

Re: Limita posloupnosti s lineárním logaritmem

#8 03. 12. 2015 19:54

Re: Limita posloupnosti s lineárním logaritmem

#9 03. 12. 2015 19:59

Re: Limita posloupnosti s lineárním logaritmem

#10 07. 12. 2015 12:03

Re: Limita posloupnosti s lineárním logaritmem

Zápatí