Matematické Fórum

sarna · 03. 12. 2015 19:41

Ahoj, ve škole nám zadali úkol, aby jsme se pokusili dokázat $\lim_{n\to-\infty }(1+\frac{1}{n})^{-n}=\frac{1}{e}$ ale nevím jak na to :(
Mohl by mi někdo prosím poradit?

jelena · 03. 12. 2015 21:12

Zdravím,

zadání je pro mne zvláštní - jde o limitu posloupnosti? Potom si nepředstavím $n\to -\infty$ . Jaká technika důkazu se předpokládá - z definice nebo jinak? Jak jste např. dokazovali $\lim_{n\to\infty }$1+\frac{1}{n}$^{n}=e$ ? Děkuji.

byk7 · 03. 12. 2015 21:49

↑ sarna:

Přetransformoval bych si limitu z minus nekonečna do plus nekonečna, tj. pro $m=-n$ máme $m\to\infty\Leftrightarrow n\to-\infty$ , takže
$\lim_{n\to-\infty }$1+\frac{1}{n}$^{-n}=\lim_{m\to\infty}$1+\frac{1}{-m}$^m=\lim_{m\to\infty}$\(1+\frac{1}{-m}$^{-m}\)^{-1}=\cdots$

↑ jelena:

Zdravím, prostě si zobecníme pojem nekonečné posloupnosti s tím rozdílem, že bude nekonečná na obě strany a budeme indexovat zápornými čísly. V tom snad problém nebude, byť takové zobecnění asi není moc běžné. :-) Podobně to můžeme dělat s rekuretními posloupnosti, viz např. Fibonacciho.

sarna · 03. 12. 2015 22:45

↑ jelena:
dobrý den, děláme limity funkcí, takže proto to asi může jít do mínus nekonečna a učitel nám neřekl jakým způsobem to máme dokázat

↑ byk7:
něco takového jsem zkoušela, ale motám se v kruhu, protože teď bych volila substituci $-m=k$ abych se dostala na tabulkovou hodnotu. Jak to teda bude?

jarrro · 04. 12. 2015 00:20

Staci ukazat, ze
$\lim_{n\to-\infty}{$1+\frac{1}{n}$^n}=\mathrm{e}$
substitucia $n=-m-1$ ju prevedie na limitu v nekonecne

jelena · 04. 12. 2015 00:27

Pozdravy,

↑ byk7: :-) pro vás je to maličkost "prostě si zobecníme".

↑ sarna: děkuji, potom by snad bylo možné používat zápis tak, aby bylo i těm, co "prostě nezobecní" nebo "zobecní neprostě" také jasné :-) tedy $\lim_{x\to-\infty }$1+\frac{1}{x}$^{-x}=$ .

↑ byk7: já bych to spíš obešla nejdřív substituci $1/x=u$ , potom $u\to 0$ a dokazujeme $$\lim_{u\to0 }\(1+u$^{\frac{1}{u}}\)^{-1}=$ . A toto už dokázáno bylo jako důsledek 2. pozoruhodné limity $\lim_{u\to0 }$1+u$^{\frac{1}{u}}=e$ (nebo vím, kde je důkaz).

Jak se to jeví? Děkuji.

jelena · 04. 12. 2015 00:29

↑ jarrro:

Zdravím, mohu to nechat, nebo to není dobře? Děkuji.

jarrro · 04. 12. 2015 00:36

↑ jelena:je to dobre ak je povolene pouzitie limity v nule
vzdy je viac ciest k cielu

jelena · 04. 12. 2015 00:47

↑ jarrro:

děkuji, "máme" to jako důsledek 2. pozoruhodné limity - viz "следствия". Tak to budu brát, že by šlo použit s ohledem na problém ↑ sarna:.

Matematické Fórum

#1 03. 12. 2015 19:41

Limita

#2 03. 12. 2015 21:12

Re: Limita

#3 03. 12. 2015 21:49

Re: Limita

#4 03. 12. 2015 22:45

Re: Limita

#5 04. 12. 2015 00:20

Re: Limita

#6 04. 12. 2015 00:27

Re: Limita

#7 04. 12. 2015 00:29

Re: Limita

#8 04. 12. 2015 00:36

Re: Limita

#9 04. 12. 2015 00:47

Re: Limita

Zápatí