Matematické Fórum

Frikulin1 · 03. 12. 2015 21:04

Zdravím,
potřebovala bych vypočítat následující limitu posloupnosti:
$\lim _{x\to \infty }\left(1+\frac{3}{n+2}\right)^{5-2n}$

myslím, že bych to měla upravit tak, abych dostala tvar:

$\lim _{x\to \infty }\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e$

ale nemůžu se nějako dopočítat, jak to tam mám dostat.
Moc děkuji za rady.

rvyrut · 03. 12. 2015 21:07

$\lim _{x\to \infty }\left(1+\frac{3}{n+2}\right)^{5-2n}=\lim _{x\to \infty }\left [\left(1+\frac{3}{n+2}\right)^{n+2}\right]^\frac{5-2n}{n+2}= \dots$

Freedy · 03. 12. 2015 21:42 — Editoval Freedy (03. 12. 2015 22:07)

Ahoj,

možná bych to spíše upravil takto:
$\bigg(1+\frac{3}{n+2}\bigg)^{5-2n}=\bigg(1+\frac{3}{n+2}\bigg)^9\cdot\bigg(1+\frac{3}{n+2}\bigg)^{-2(n+2)}$
a následně:
$\bigg(1+\frac{3}{n+2}\bigg)^9\cdot\bigg(1+\frac{3}{n+2}\bigg)^{-2(n+2)}=\bigg(1+\frac{3}{n+2}\bigg)^9\cdot \Bigg( \bigg(1+\frac{3}{n+2}\bigg)^{n+2}\Bigg)^{-2}=a_n$
Nyní z věty o aritmetice limit plyne:
$\lim_{n\to\infty }\bigg(1+\frac{3}{n+2}\bigg)^9=1$
$\lim_{n\to\infty }\bigg(1+\frac{3}{n+2}\bigg)^{n+2}=\text{e}^3$
atd...

díky za upozornění - opraveno

byk7 · 03. 12. 2015 21:51

↑ Freedy:

Tvrdíš, že $5-2n=5+\bigl(-2(n+2)\bigr)$ ? :-)

rvyrut · 03. 12. 2015 21:54

↑ Freedy:
jen upozornění
$\lim_{n\to\infty }\bigg(1+\frac{3}{n+2}\bigg)^{n+2}=\text{e}^{\color{red}3}$

Frikulin1 · 03. 12. 2015 21:57

Díky moc,
akorát moc nechápu, kam se poděla ta $3$ z čitatele a jak vzniklo z:
$5-2n$
vzniknout
$5$ a $-2(n+2)$

byk7 · 03. 12. 2015 22:01 — Editoval byk7 (03. 12. 2015 22:05)

↑ Frikulin1: Freedy tam udělal numerickou chybu, i když jeho myšlenka se mi líbí.

Správně to má být $\bigg(1+\frac{3}{n+2}\bigg)^{5-2n}=\bigg(1+\frac{3}{n+2}\bigg)^9\cdot\bigg(1+\frac{3}{n+2}\bigg)^{-2(n+2)}$ , takže
$\lim_{n\to\infty }\bigg(1+\frac{3}{n+2}\bigg)^9=1$
$\lim_{n\to\infty }\bigg(1+\frac{3}{n+2}\bigg)^{n+2}=\text{e}^3$
a (oprava)
$\lim _{x\to \infty }\left(1+\frac{3}{n+2}\right)^{5-2n}=\mathrm{e}^{-6}$

rvyrut · 03. 12. 2015 22:05

$\lim _{x\to \infty }\left(1+\frac{3}{n+2}\right)^{5-2n}=\mathrm{e}^{-6}$

Frikulin1 · 03. 12. 2015 22:12

Díky moc za vyřešení. Moc ste mi pomohli :)

Matematické Fórum

#1 03. 12. 2015 21:04

Limita posloupnosti - výpočet

#2 03. 12. 2015 21:07

Re: Limita posloupnosti - výpočet

#3 03. 12. 2015 21:42 — Editoval Freedy (03. 12. 2015 22:07)

Re: Limita posloupnosti - výpočet

#4 03. 12. 2015 21:51

Re: Limita posloupnosti - výpočet

#5 03. 12. 2015 21:54

Re: Limita posloupnosti - výpočet

#6 03. 12. 2015 21:57

Re: Limita posloupnosti - výpočet

#7 03. 12. 2015 22:01 — Editoval byk7 (03. 12. 2015 22:05)

Re: Limita posloupnosti - výpočet

#8 03. 12. 2015 22:05

Re: Limita posloupnosti - výpočet

#9 03. 12. 2015 22:12

Re: Limita posloupnosti - výpočet

Zápatí