Matematické Fórum

noggi · 04. 12. 2015 22:05

Dobrý den, v projektu mám slovní ulohu, údajně na 1 derivaci, vůbec nemám nápad jak tuto slovní úlohu řešit, byl bych moc rád kdyby, mi tady někdo pomohl děkuji moc.

Zde je slovní úloha: Určete rozměry obdélníka vepsaného do půlkruhu o poloměru R > 0 majícího maximální
obsah.

marnes · 04. 12. 2015 22:59

↑ noggi:

Když si načrtneš danou situaci, tak střed půlkruhu musí být středem strany obdélníka. Jestliže označíme délku obdélníka $2a$ a šířku $b$ , a poloměr kruhu $R$ , tak platí $R^{2}=a^{2}+b^{2}$ .

No a pak obsah obdélníka, nahradíš z $R^{2}=a^{2}+b^{2}$ jednu proměnnou a přes druhou derivuješ
R je číslo

Quimby · 04. 12. 2015 23:06

No, tak můžeme si střed dané kružnice dá do počátku soustavy souřadnic. Budeme brát pak horní polovinu této kružnice jako půlkruh.
Je asi celkem jasné, že daný obdélník bude symetrický podle osy Y. Takže se můžeme omezit pouze na pravou polovinu, tedy čtvrtkruh v prvním kvadrantu souřadnic.

Hledáme tedy určitý bod se souřadnicemi $(x,y)$ , pro které platí $x^2+y^2 = R^2$ , $x*y= S$

No a my hledáme $S_{max}$ . Takže S je pro nás funkce dvou proměnných z podmínky kružnice si jednu vyjádříme druhou a najdeme maximum dané funkce.

noggi · 04. 12. 2015 23:20

Omlouvám se, ale nějak se vůbec nechytám, chápu co myslíte ale nevím jak si to odvodit a dosadit :D

marnes · 04. 12. 2015 23:28

↑ noggi:

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=68121

Quimby · 05. 12. 2015 10:53

↑ noggi:
No, tak začni tím, že si z rovnice kružnice vyjádři třeba y a dosaď ho do funkce pro obsah.

noggi · 05. 12. 2015 11:22 — Editoval noggi (05. 12. 2015 11:40)

Takže mi vyšlo tohle: $S=y*\sqrt{r^{2}-y^{2}}$ Teď to musím zderivovat ? :D
Mohu na derivaci použít symbolab nebo další online programy ? :D
po vypočtení derivace jsem položil první derivaci = 0
$2yr^{2}-4y^{3} =0$
$2yr^{2}=4y^{3}$
$r^{2}=2y^{2}$
a tím pádem $y=\frac{r}{\sqrt{2}}$
a teď tohle mám dosadit za y do S= x*y ? :D
a nebo do rovnice kružnice ? :D

Quimby · 05. 12. 2015 12:32

No, tak použij si co chceš, třaba wolfram je dobrý. Pokud bys to teda dělal ručně, tak se jedná o derivaci součinu dvou funkcí.
$f'.g' = f'g + fg'$
$S' = (y)' . \sqrt{R^2-y^2} + y .( \sqrt{R^2-y^2})' = \sqrt{R^2-y^2} + y(\frac{-2y}{2*\sqrt{R^2-y^2}}) = \frac{R^2 - 2y^2}{\sqrt{R^2-y^2}}$

Nyní hledáme maximum funkce, takže její první derivace se musí rovnat nule, pak to možná bude maximum.
$\frac{R^2 - 2y^2}{\sqrt{R^2-y^2}}=0$
$R^2 - 2y^2=0$
$R^2 = 2y^2$

$y=\frac{R}{\sqrt2}$ (neporušuje podmínku jmenovatele ani odmocniny)

No a to už je skoro výsledek. Mělo by se správně ověřit, že se jedná o maximum dané funkce, ale to je celkem vidět.
Tak, teď to dosadíš do původní rovnice pro kružnici abys dopočítal druhou souřadnici a dostaneš tím strany obdélníku takové, že jeho obsah je maximální, což jsme přesně chtěli spočítat. Akorát my jsme počítali v pravém čtvrtkruhu, takže souřadnici X pronásobíme ještě dvěma abychom dostali obsah obdélníku v horním půlkruhu.
$x^2+y^2= R^2 = x^2 +\frac{ R^2}{2} \Rightarrow x^2 = \frac{ R^2}{2} \Rightarrow x= \frac{ R}{\sqrt{2}}$

Takže nám mimochodem vyšlo, že největší obdélník který můžeš vepsat do čtvrtkruhu je čtverec.
Pokud to tedy ještě přenásobím, tak výsledný obdélník, který můžeme vepsat do půlkruhu, který má maximální obsah, má délky stran: $x= R \sqrt{2} ; y = R \frac{\sqrt{2}}{2}$

Jinak tvoje derivace je z nějakého důvod pronásobená Y, ale to ani moc nevadí v tomto případě.