Matematické Fórum

DoctorCZE · 05. 12. 2015 15:04

Zdravím, dnes jsem si celý den lámal hlavu nad tím, jak vyřešit tento příklad, bohužel neúspěšně. Budu vděčný za JAKÉKOLIV rady a pomoc s úspěšným vypočtením tohoto příkladu. Předem moc děkuji.

Mějme parabolu zadanou rovnicí y = x^2 − 2. Určete body paraboly s nejmenší vzdáleností od bodu B = [0, 2].

Quimby · 05. 12. 2015 15:11

Každý bod na parabole se dá vyjádřit pomocí souřadnic. Například $[x,x^2-2]$ . No a nyní můžeš spočítat vzdálenost tohoto obecného bodu od B. Z toho vlastně dostaneš funkci u které hledáš její minimum v závislosti na x.

Bati · 05. 12. 2015 15:42

Ahoj ↑ DoctorCZE:,
taky můžeš zvětšovat kružnici se středem v B, dokud se nedotkne paraboly. Tzn. nalézt nejmenší R tak, že soustava
$y=x^2-2$
$x^2+(y-2)^2=R^2$
má aspoň jedno řešení.

DoctorCZE · 05. 12. 2015 16:15

Takže jsem s tím zkusil pohnout... (vycházel jsem ze soustavy kterou psal Bati)

y+2+(y-2)^2=R^2
//za y dosadím 2
4=R^2
R=2

Tzn. body jsou [2,2] a [-2,2]? Když koukám do grafu tak mi to moc nesedí...

Bati · 05. 12. 2015 16:20 — Editoval Bati (05. 12. 2015 16:21)

↑ DoctorCZE:
Proč dosazuješ za y 2?

DoctorCZE · 05. 12. 2015 17:17

Teď mi došlo, že to je hloupost... no snažil jsem se tam dosadit něco co znám a to je bohužel jen souřadnice středu...

Bati · 05. 12. 2015 17:20

Ale ty nepotřebuješ znát už nic dalšího, řešíš soustavu
$y=x^2-2$
$x^2+(y-2)^2=R^2$
s parametrem R. R určíš tak, aby ta soustava měla řešení.

DoctorCZE · 05. 12. 2015 17:23

teď už chápu jak to bylo myšlené.. ovšem stále mě zaráží, podle čeho si mám určit R.. Nemůžu přece střílet od boku a říct, že R se bude rovnat něčemu..

Bati · 05. 12. 2015 17:24

Už jsi vyřešil tu soustavu? :)

DoctorCZE · 05. 12. 2015 18:21

ne, stále na to nemohu přijít....

Bati · 05. 12. 2015 18:28

↑ DoctorCZE:
Dosadím za y z první rovnice do druhé, dostanu
$x^2+(x^2-4)^2=R^2$ .
Úpravami dojdu k
$x^4-7x^2+16-R^2=0$ , neboli
$z^2-7z+16-R^2=0$ , kde $z=x^2$ .
To je kvadratická rovnice s diskriminantem $D=4R^2-15$ . Odtud je jasné, jaké je nejmenší R takové, že původní soustava má řešení, tj. $D\geq0$ .

DoctorCZE · 05. 12. 2015 18:53

↑ Bati:
Děkuji ti moc !!! :D buĎ jsem úplně blbej a nebo se na mě podepisuje že jsem skoro 30 hodin nespal :D
Teď už je vše jasné!
Ještě jednou dík :D

Matematické Fórum

#1 05. 12. 2015 15:04

Body s nejmenší vzdáleností od paraboly

#2 05. 12. 2015 15:11

Re: Body s nejmenší vzdáleností od paraboly

#3 05. 12. 2015 15:42

Re: Body s nejmenší vzdáleností od paraboly

#4 05. 12. 2015 16:15

Re: Body s nejmenší vzdáleností od paraboly

#5 05. 12. 2015 16:20 — Editoval Bati (05. 12. 2015 16:21)

Re: Body s nejmenší vzdáleností od paraboly

#6 05. 12. 2015 17:17

Re: Body s nejmenší vzdáleností od paraboly

#7 05. 12. 2015 17:20

Re: Body s nejmenší vzdáleností od paraboly

#8 05. 12. 2015 17:23

Re: Body s nejmenší vzdáleností od paraboly

#9 05. 12. 2015 17:24

Re: Body s nejmenší vzdáleností od paraboly

#10 05. 12. 2015 18:21

Re: Body s nejmenší vzdáleností od paraboly

#11 05. 12. 2015 18:28

Re: Body s nejmenší vzdáleností od paraboly

#12 05. 12. 2015 18:53

Re: Body s nejmenší vzdáleností od paraboly

Zápatí