Matematické Fórum

abcd12 · 05. 12. 2015 11:51

Zdravím,

mám daný prostor všech reálných posloupností a mým úkolem je dokázat, že s metrikou $\rho(x,y)=\frac{1}{\lambda}$ , kde $\lambda$ je nejmenší index takový, že $x_\lambda \ne y_\lambda$ (v případě, že se dvě posloupnosti rovnají, je definováno $\rho(x,y)=0$ ), se jedná o metrický prostor a rozhodnout a zdůvodnit, zda je tento metrický prostor úplný. Tedy např. pokud mám 2 posloupnosti, které mají prvních 5 prvků stejných a liší se u šestého, pak je jejich vzdálenost 1/6.

Mám už dokázané, že se jedná o metrický prostor, správností důkazu jsem si celkem jistý. Dále tvrdím, že prostor je úplný, ale nejsem si úplně jistý, jestli je můj argument postačující, proto bych se vás chtěl zeptat, jestli je to tak v pořádku, a případně jak to vylepšit.

Nejprve jsem si zkusil najít nějakou cauchyovskou poslounost, abych zjistil, jak by zhruba mohly cauchyovské posloupnosti vypadat. Vzhledem k tomu, že jsem v prostoru posloupností, každá cauchyovská posloupnost v tomto prostoru bude vlastně posloupnost posloupností. Napadla mě například taková posloupnost posloupností, která obsahuje na i-té pozici v i-té posloupnosti jedničku a jinak všude nuly. Když si jednotlivé posloupnosti napíšu pod sebe, dostanu něco jako nekonečnou jednotkovou matici. Tato posloupnost posloupností je cauchyovská a její limitou je nulová posloupnost.

Dále jsem to zkusil obecně pro libovolnou cauchyovskou posloupnost. Z Cauchyho-Bolzanovy podmínky $(\forall \epsilon >0)(\exists n_0 \in\mathbb{N})(\forall m,n \in \mathbb{N}; m,n \ge n_0): \rho(x_n,x_m)< \epsilon$ a definice tohoto metrického prostoru jsem určil, že pro každou cauchyovskou posloupnost bude platit, že pro libovolné $\epsilon$ najdu $n_0$ a $\lambda$ , pro které bude platit, že pro každé $n,m \ge n_0$ a $k < \lambda$ se prvek na n-tém řádku a k-tém sloupci vždy rovná prvku na m-tém řádku a k-tém sloupci. Pokud tato cauchyovská posloupnost posloupností má limitu, pak pro tu limitu musí opět platit, že je to posloupnost, jejíž prvek na k-tém indexu se rovná prvku na k-tém indexu v n-té, resp. m-té posloupnosti v té dané cauchyovské posloupnosti posloupností.

Mám tedy cauchyovskou posloupnost posloupností a pro dané epsilon jsem schopen určit několik prvních členů v té limitě tak, aby bylo splněno, že vzdálenost této limity od libovolně zvolené n-té (kde $n \ge n_0$ ) posloupnosti v dané posloupnosti posloupností je menší než to dané epsilon. Což je vlastně definice limity posloupnosti až na to, že to musí platit pro každé epsilon a ne jen pro libovolně zvolené. Když si ale zvolím libovolné jiné epsilon, opět jsem určitě stejným způsobem schopen určit několik prvních členů v té limitě. Limitu neznám celou, ale to asi až tak nevadí, jednoznačností se zabývat nemusím..

Je to tak v pořádku? A ještě bych se chtěl zeptat, jak matematicky označovat posloupnost posloupností, když posloupnost označuji $(a_{n})$ . Bude to $(a_{mn})$ nebo nějak jinak?

Bati · 05. 12. 2015 13:17 — Editoval Bati (05. 12. 2015 13:23)

Ahoj,
Nelíbí se mi na tom tahle část:

abcd12 napsal(a):
Pokud tato cauchyovská posloupnost posloupností má limitu, pak pro tu limitu musí opět platit, že je to posloupnost, jejíž prvek na k-tém indexu se rovná prvku na k-tém indexu v n-té, resp. m-té posloupnosti v té dané cauchyovské posloupnosti posloupností.

Ty chceš teprve dokázat, že ta Cauchyovská posloupnost má limitu, takže to nemůžeš předpokládat. Potřebuješ najít způsob, jak definovat ten limitní objekt, což jsem v tvém vysvětlení nenašel.

Ukážu, jak bych na to šel já. Členy číselných posloupností budu indexovat dole, posloupnost posloupností indexy nahoře. Z Cauchyovskosti ihned pro každé $N\in\mathbb{N}$ dostávám existenci $n_0(N)$ tak, že pro každé $n\geq n_0(N)$ platí $\rho(a^n,a^{n_0(N)})\leq\tfrac1N$ , tj. alespoň N počátečních prvků posloupnosti $a^{n_0(N)}$ už je navždy fixováno. To je přesně to, co chci, protože mi to umožňuje definovat limitní posloupnost $L$ předpisem $L_i:=a^{n_0(i)}_i$ a vím už, že tato definice dává dobrý smysl. Teď už jen zbývá dokázat, že to je skutečně limita naší posloupnosti. Na to bych použil to, co víme o $a^{n_0(N)}$ a trojúhelníkovou nerovnost, detaily nechám na tobě.

abcd12 · 05. 12. 2015 19:43

Ahoj,

děkuji za odpověď. To, co píšeš, je dost podobné tomu, jak jsem to myslel já, ale máš to určitě lepší.

Mám teda tu posloupnost $L$ a posloupnost posloupností $a$ . Potřebuji dokázat $a \rightarrow L$ , tedy že pro každé $\epsilon > 0$ existuje v $a$ taková posloupnost $a^{n_0}$ , že pro všechny následující posloupnosti z $a$ platí, že jejich vzdálenost od $L$ je menší než $\epsilon$ .

Nevím, jak to myslíš s tou trojúhelníkovou nerovností, ale vymyslel jsem následující důkaz: Pro každé $\epsilon > 0$ můžu zvolit $N$ tak, aby platilo $\frac{1}{N} < \epsilon$ . Vím z cauchyovskosti, že pro každé takové $N$ najdu posloupnost $a^{n_0(N)}$ , jak jsi psal. Zároveň vím, že pro prvních $N$ členů posloupnosti $L$ platí, že i-tý člen posloupnosti $L$ se rovná i-tému členu posloupnosti $a^{n_0(N)}$ (a zároveň i-tému členu libovolné další posloupnosti $a^n$ , kde $n \ge n_0$ ). To znamená, že $(\forall n > n_0(N)): \rho(a^{n},L) < \frac{1}{N} < \epsilon$ . A proto $a \rightarrow L$ .

Je to tak v pořádku?