Matematické Fórum

Kenji · 05. 12. 2015 16:09

Ahoj, mám zadanou úlohu:

Ukažte, že množina V = {[3a − 5b, −a + 2b + c, 4c − 2a, a + 3c]; a, b, c ∈ R}
je podprostor prostoru R4. Určete dimenzi podprostoru V a alespoň jednu bázi V.

A nemám k dispozici výsledky a moc tomu ještě nerozumím, tak se chci jen ujistit, zda-li to mám správně

Ukázání, že V je podprostor R4
$v_{1} = [3a_{1}-5 b_{1}, -a_{1}+2b_{1}+c_{1}, 4c_{1}-2a_{1}, a_{1}+3c_{1}]$
$v_{2} = [3a_{2}-5 b_{2}, -a_{2}+2b_{2}+c_{2}, 4c_{2}-2a_{2}, a_{2}+3c_{2}]$

Uzavřenost na sčítání
$v_{1} + v_{2} = [3(a_{1}+b_{2})-5 (b_{1}+b_{2}), -(a_{1}+a_{2})+2(b_{1}+b_{2})+(c_{1}+c_{2}), 4(c_{1}+c_{2})-2(a_{1}+a_{2}), (a_{1}+a_{2})+3(c_{1}+c_{2})]$
$a = (a_{1}+a_{2}), b = (b_{1}+b_{2}), c=(c_{1}+c_{2}); a,b,c \in R$
$v_{1}+v_{2}= [3a - 5b, -a + 2b + c, 4c - 2a, a + 3c]$

Uzavřenost na násobení skalárem
$\lambda *v_{1} = [3a_{1}\lambda-5b_{1}\lambda, -a_{1}\lambda+2b_{1}\lambda+c_{1}\lambda, 4c_{1}\lambda-2a_{1}\lambda, a_{1}\lambda+3c_{1}\lambda]$
$a = a_{1}\lambda, b = b_{1}\lambda, c = _{1}\lambda; a,b,c\in R$
$\lambda *v_{1} = [3a - 5b, -a + 2b + c, 4c - 2a, a + 3c]$

Dimenze
$dimV = 3$

Báze
$(3, -1, -2, 1), (-5, 2, 0, 0),(0, 1, 4, 3)$

Pritt · 05. 12. 2015 23:04 — Editoval Pritt (05. 12. 2015 23:04)

↑ Kenji:

Ahoj, co znamenají $a,b,c$ ?

vanok · 05. 12. 2015 23:47

Ahoj ↑ Pritt:,
a,b,c su parametre
A vdaka vektorom $(3, -1, -2, 1), (-5, 2, 0, 0),(0, 1, 4, 3)$ sa vidi,ze V je generovany tymi vektormy

Aby sa mohlo povedat, ze tvoria jednu bazu priestoru V, treba ukazat ze su lin.nezavisle.
Pocet vektorov jednej bazy je dimenzia V.

super_panda · 06. 12. 2015 16:05

Jak jsi, prosím tě, přišel na Dimenzi? je to zjištěno z matice 3x4?

vanok · 06. 12. 2015 16:16

↑ super_panda:
Staci ukazat LN

Klasicky...
Alebo napr GEM.... Ukazes, ze matica 3x4 ma hodnost 3.

Matematické Fórum

#1 05. 12. 2015 16:09

Vektorový podprostor

#2 05. 12. 2015 23:04 — Editoval Pritt (05. 12. 2015 23:04)

Re: Vektorový podprostor

#3 05. 12. 2015 23:47

Re: Vektorový podprostor

#4 06. 12. 2015 16:05

Re: Vektorový podprostor

#5 06. 12. 2015 16:16

Re: Vektorový podprostor

Zápatí