Matematické Fórum

Autorizovaný prodejce vozu značky Volkswagen připravil pro své zákazníky zajímavé slevy ve formě 9 akčních balíčků, každý sestávající z 12 vybraných položek nadstandardní výbavy. Balíček je možno v rámci akce zdarma přidat k základní výbavě modelu Sharan a Passat. Mezi nadstandardní vybaven patří například samozacelující pneumatiky, sedmimístné provedení, automaticky parkovací asistent, bi-xenonové světlomety, blind spot senzor, boční airbagy vzadu, atd., celkem 20 položek. Je možné, aby kterákoliv čtveřice vámi libovolně zvolených položek z nadstandardní výbavy byla v některém z akčních balíčků obsazena? Svou odpověď pečlivě zdůvodněte a doložte výpočtem. (2 b)

Nejdříve si vypočteme jak vybrat 4 položky z 20 přes kombinace:
C(20,4) = 20! /16! *4! = 20*19*18*17/4*3*2 = 4845 -> všechny možnosti musí být obsaženy v balíčcích.

Zvolím libovolně 1 balíček.
v 1 balíčku je kolik čtveřic?

C(12,4) = 12! / 8! * 4! = 12*11*10*9/4*3*2 = 495
Pro 9 balíčku máme 495 * 9 čtveřic = 4455

Čtveřice se v 9 balíčcích asi musí opakovat, takže jsem započítal některé čtveřice dvakrát a reálně ten počet bude ještě menší.
Ale teoreticky i když každý z devíti balíčku bude obsahovat jiný počet čtveřic, pořád nepokryjeme všechny čtveřice, které můžeme vytvořit z 20 položek.
Nevím kolik maximálně čtveřic může obsahovat 9 balíčků po 12 položkách, ale vím, že číslo nemůže být větší než 4455.
A pokud mám celkem 4845 čtveřic jak vybrat 4 položky z 20, je jasné, že vždycky najdu alespoň jednu čtveřici, která v balíčcích nebude.

Chci se zeptat jestli výsledek i oddůvodnění jsou správná? Nebo jsem se někde sekl?
Děkuji za odpověď.