Matematické Fórum

Jakub1 · 06. 12. 2015 21:12

Dobrý deň,

mám v podstate filozofickú otázku, a to, či je nasledovná množina uzavretá alebo otvorená. Problém je, či do tej množiny koncové body patria:

$K=\cap _{(n=1)}^\infty \left(3-\frac{4}{n}, 5+\frac{2}{n} \right)$

Ja viem, že ak $K=(3, 5)$ , tak je otvorená a keď $K=\langle3, 5\rangle$ , tak je uzavretá. Lenže, skutočne do $K$ patria body 3 a 5? Ďakujem za pomoc.

Andrejka3 · 06. 12. 2015 21:16

↑ Jakub1:
Ahoj.
Stačí dokázat, že jsou v každém intervalu $\left(3-\frac{4}{n}, 5+\frac{2}{n} \right)$ , kde $n\in \mathbb{N}$ , nenulové.

Jakub1 · 06. 12. 2015 21:23

Čiže vlastne tá množina je skutočne uzavretá. Lebo pre $(\forall n\in \mathbb{N}) :\{3,5\}\in K$ ?

Andrejka3 · 07. 12. 2015 14:52

Asi jsi chtěl napsat, že koncové body intervalu $\langle 3,5\rangle$ patří do $K$ , neboli $\{3,5\}\subseteq K$ .

Aby platila rovnost $K=\langle3,5\rangle$ ,
1) i ostatní body intervalu $\langle 3,5\rangle$ musí být v $K$
a
2) $K$ neobsahuje už žádné další.

$\langle 3,5\rangle$ je uzavřená množina v obvyklém metrickém prostoru reálných čísel.

vanok · 07. 12. 2015 15:31

Poznamka
Vlasnost $K= [3;5]$ sa moze ukazat v dvoch etapach.
Najprv:
Akoze vieme, ze pre kazde $n\in N$ uzavrety interval $[3:5]\subset \left(3-\frac{4}{n}, 5+\frac{2}{n} \right)$
Tak $[3;5]\subset K$ .(preco?)
Potom opacna inkluzia:
To iste vies dokazat....

Matematické Fórum

#1 06. 12. 2015 21:12

Uzavretá množina

#2 06. 12. 2015 21:16

Re: Uzavretá množina

#3 06. 12. 2015 21:23

Re: Uzavretá množina

#4 07. 12. 2015 14:52

Re: Uzavretá množina

#5 07. 12. 2015 15:31

Re: Uzavretá množina

Zápatí