Matematické Fórum

simstriks

Dobrý den,

Potřeboval bych prosím pomoct s pochopením důkazu Picardovy – Lindelöfovy věty za použití Banachova věty o pevném bodě.
Zde důkaz http://www.imgup.cz/image/uD2 http://www.imgup.cz/image/uDT .

Za každou radu dekuji ☺

Rumburak

↑ simstriks:

Ahoj.

Zatím jen rámcově:

Odkazují nás na Banachovu větu o pevném bodě. Vzhledem k úplnosti metrického prostoru $(X, \varrho)$
postačí tedy dokázat, že operátor $T : X \to X$ je kontrakce. To znamená dokázat existenci
konstany $K \in \langle 0, 1)$ takové, aby pro libovolné dvě funkce $u, v \in X$ byla splněna nerovnost

$\varrho(T(u), T(v)) \le K \cdot \varrho(u, v)$ .

simstriks

Díky za odpověď,

ve vašem shrnutí již ale předpokládáte, že je prostor úplný. Když se podíváte na první půlku důkazu, tak tam je právě (pokud tomu dobře rozumím) dokázána úplnost. A právě té části, nerozumím. Chápu, že výsledkem je úplný prostor, ale ten postup důkazu nevím. Potřeboval bych ten postup pochopit.

Pokud teda tomu zatím rozumím, tak v první části je třeba dokázat že se jedná o prostor úplný. A poté je třeba dokázat oba axiomy z Banachovy věty.

Díky za rady :-)

Brano · 01. 12. 2015 11:09

Veta 1: $C([a,b])$ so supremovou metrikou je uplny priestor.
Veta 2: Uzavreta podmnozina uplneho priestoru je uplny priestor.
Pozorovanie: Tamten uvazovany priestor je uzavrety v $C([x-h,x+h])$ .

upresni s ktorym krokom mas problem a mozme rozviest detailnejsie.

simstriks · 01. 12. 2015 11:15

Díky za odpověď,

Pokud bychom se na ten důkaz mohli podívat krok po kroku, bylo by to super. Počínaje prvním řádkem. Proč je zvolena právě taková metrika? https://ctrlv.cz/5C7C a dále, ta definice.

Díky

Rumburak

↑ simstriks:

Tak si zopakujme trochu teorie.

1. Symbol $C(\langle a, b\rangle)$ pro (konečná) reálná čísla $a < b$ značí množinu (lineární prostor) všech takových funkcí,
které jsou definovány na intervalu $\langle a, b\rangle$ a jsou na něm spojité. Předpisem

(1) $\varrho(f, g) := \max_{x \in \langle a, b\rangle} |f(x) - g(x)| , f, g \in C(\langle a, b\rangle)$ ,

(nebo též $\varrho(f, g) := \sup_{x \in \langle a, b\rangle} |f(x) - g(x)| , f, g \in C(\langle a, b\rangle)$ , což je pro funkce $f, g$ spojité
na $\langle a, b\rangle$ ekvivalentní s (1)) je pak na tomto prostoru definována metrika $\varrho$ . Tím vznikne metrický prostor
$(C(\langle a, b\rangle) , \varrho)$ . Tuto metriku $\varrho$ považujeme za "přirozenou" metriku na prostoru $C(\langle a, b\rangle)$ , takže místo
"metrický prostor $(C(\langle a, b\rangle) , \varrho)$ " říkáme a píšeme stučněji "metrický prostor $C(\langle a, b\rangle)$ ". Ale to je jen
otázka terminologie a symboliky.

2. O metrickém prostoru $C(\langle a, b\rangle)$ je známo, že je úplný.

3. Dále ptatí věta:

Je-li $(P, \varrho)$ úplný metrický prostor a $M$ jeho uzavřená podmnožina, potom i $(M, \varrho_M)$ je úplný.

(Symbol $\varrho_M$ značí zúžení metriky $\varrho$ na množinu $M$ .)

4. Množina $X$ z Tvého textu je uzavřenou množinou v $C(\langle a, b\rangle)$ pro příslušná čísla $a, b$ , takže
lze na ni aplikovat větu z odstavce 3.

Ve kterém bodě je problém ? Soudím, že Ti není jasná buďto věta z odstavce 3, nebo skutečnost, že množina $X$
je uzavřená v příslušném $C(\langle a, b\rangle)$ , ale vyjádři se přesně, ať tu neřešíme věci zbytečné :=).

simstriks · 01. 12. 2015 11:57

Super, díky za objasnění základních termínů.

Problém nastává v části, "Nyní uvažujme metrický prostor" $C(\langle x0-h, x0+h \rangle$ Proč právě takový prostor? A dále uvažujeme suprémovou metriku $\varrho(y1, y2) := \sup_{x \in \langle x0+h, x0-h\rangle} |y1(x) - y2(x)|$ - Proč právě takovou metriku? A poté ta definice... //forum.matweb.cz/upload3/img/2015-12/67300_definice.png

Díky

Rumburak

↑ simstriks:

Obecně lze odpovědět: Aby se důkaz podařil. Matematický důkaz je logická cesta, na jejímž začátku jsou předpoklady
příslušné věty a na konci dokazované tvrzení. Jednotlivé kroky důkazu možno přirovnat k významným orientačním bodům
na této cestě. Objevovat tyto body je smyslem práce matematika zabývajícího se rozvíjením matematické teorie.

Nyní jdu na oběd a pak případně zkusím pokračovat už konkretněji.

Rumburak

↑ simstriks:

Dokažme uzavřenost množiny $X$ v prostoru $C(\langle x_0 - h, x_0 - h\rangle)$ .

Uvažujme libovolnou posloupnost $(w_n)$ funkcí z $X$ , která je konvergentní v prostoru $C(\langle x_0 - h, x_0 - h\rangle)$
a má v něm tedy limitu $w$ . Uzavřenost množiny $X$ v $C(\langle x_0 - h, x_0 - h\rangle)$ bude dokázána, ukážeme-li, že $w \in X$ .

Položme $I = \langle x_0 - h, x_0 - h\rangle$ . Každá z funkcí $w_n$ patří do $X$ , jak předpokládáme, takže splňuje podmínku

(1) $\sup_{x \in I}|w_n(x) - y_0| \le b$ .

Zvolme $\varepsilon > 0$ . Na základě konvergence $w_n \to w$ existuje $D > 0$ takové, že pro každé přirozené $n > D$ je
$\varrho(w, w_n) < \varepsilon$ , což podle definice naší metriky $\varrho$ znamená, že pro každé $x \in I$ je $|w(x) - w_n(x)| < \varepsilon$ .
Odtud a z (1) plyne pro libovolné $x \in I$ odhad

$|w(x) - y_0| = |(w(x) - w_n(x)) + (w_n(x) - y_0)| \le |w(x) - w_n(x)| + |w_n(x) - y_0| < \varepsilon + b$ ,

kde horní závora $\varepsilon + b$ nezávisí na $x$ , takže odtud dále plyne

(2) $\sup_{x \in I}|w(x) - y_0| \le \varepsilon + b$ .

Ukázali jsme, že pro každé $\varepsilon > 0$ platí nerovnost (2). Tato situace může ovšem nastat jedině když

$\sup_{x \in I}|w(x) - y_0| \le b$ .

Poslední nerovnost říká, že $w \in X$ .

simstriks

Děkuji za vyčerpávající důkaz (pokud tomu rozumím), že pokud má úplný prostor uzavřenou množinu X, tak ta množina je také úplná.

Ale potřeboval bych to vzít za jiný konec.

Potřeboval bych spíše probrat toto. Mám hotový důkaz. Zde - http://www.imgup.cz/image/uD2 a zde pokračování http://www.imgup.cz/image/uDT a potřeboval bych pomoct s vysvětlením jednotlivých kroků. Počínaje, proč jsme zvolili zrovna metriku $\varrho(y1, y2) := \sup_{x \in \langle x0+h, x0-h\rangle} |y1(x) - y2(x)|$ přes tu definici, dále operátor až po druhý axiom Banachovy věty.
Pomohlo by mi, kdyby jste se mi (třeba i trošku "laicky" pokud to půjde) vyjádřil k jednotlivým krokům, ať vím jak ten důkaz funguje.

Pokud by to takto šlo, byl bych velice vděčný :)

Předem děkuji za odpovědi! :)

Rumburak · 01. 12. 2015 16:04

↑ simstriks:

Základní věcí je, aby byla zřejmá ekvivalence oné Cauchyovy úlohy s dále uvedenou integrální rovnicí.
Dokazujeme tedy existenci řešení té integrální rovnice. Její pravá strana je zřejmě funkcí proměnné $x$ , avšak závisí
i na funkci $y$ . Můžeme ji proto zapsat ve tvaru $T(y)(x)$ , celou int. rovnici pak ve tvaru $y(x) =T(y)(x)$ ,
abstrakcí od proměnné $x$ dostaneme rovnici $y = T(y)$ pro neznámou funkci $y$ . Hledaná funkce je tedy
pevným bodem operátoru $T$ , čímž se nabízí možnost využít něktrou z vět o pevném bodě, z nichž základní
význam má Banachova, která je rovněž nejednodušší (také ovšem "nejslabší", avšak pro mnoho úloh stačí).

Funkce $y$ má mít na jistém intervalu vlastní derivaci, tudíž nutně musí tam být spojitá. Úlohu $y = T(y)$ tedy
řešíme na příslušném prostoru spojitých funkcí. Metriky lze volit různé, avšak supremová (neboli maximová)
se zde hodí nejlépe - proč, to je vidět z odstavce Ad (ii) .

V podstatě se ptáš "odkud měl autor důkazu ten a ten nápad?". Na ni se těžko odpovídá. Matematické nápady
se rodí ze zkušenosti.

simstriks · 01. 12. 2015 17:03

Super :-) ted už vím, co je cílem a proč se to zrovna řeší větou o pevném bodě. Děkuji :) A mohli bychom se ještě podívat trošku detailněji na ty dva axiomy? Píšete, že byla zvolena suprémová metrika, protože se hodí nejlépe. Omlouvám se, ale nerozumím proč. Proč by nebyla vhodná třeba metrika součtová? A kdyby jste se mi ještě vyjádřil k prvnímu axiomu. Pak by to už snad bylo vše :-)

Děkuji za odpovědi.

Bati · 01. 12. 2015 20:48

Ahoj ↑ simstriks:.
Myslím, že se na to díváš trochu ze špatného úhlu. Metrik, pro které by důkaz fungoval půjde pravděpodobně najít mnoho. Supremová metrika má několik pěkných vlastností:

Je jednoduchá pro představivost
Prostor C je vzhledem k ní úplný
Konvergence v této metrice není nic jiného než stejnoměrná konvergence

Proto jsme rádi když důkaz projde s touto metrikou a nemusíme vymýšlet nic složitějšího. Chápu, že se snažíš porozumět tomu, proč se to dokazuje takhle, což je správný přístup. V tomhle případě ale všechny definice v tom důkazu jsou nejjednodušší možné, a tak tvoje otázka je typu: Šlo by to dokazovat složitěji? Odpověď na to je vždycky: Šlo, ale nezajímá nás to.

Rumburak

↑ simstriks:

A mohli bychom se ještě podívat trošku detailněji na ty dva axiomy?

Dotaz mi není zcela jasný. Jde patrně o to ověření předpokladů Banachovy věty (?) Ale to je v tom článku provedeno,
připadá mi, celkem podrobně. Jde jen o to použít definici operátoru $T$ , předpoklady P-L věty a na základě toho
odhadnout ony dva integrály. V případě (ii) se ještě použije Lagrangeova věta o střední hodnotě a vztah

$f(t, y_1) - f(t, y_2) = \frac{\partial f}{\partial y}(t, \eta)\cdot (y_1 - y_2)$ ,

který z ní plyne (podrobné znění věty snad netřeba uvádět). Kdyžtak napiš, které kroky postupu nejsou jasné,
pokusím se vysvětlit.

simstriks

Omlouvám se, že jsem nereagoval, byl jsem mimo pc i internet.

Konkrétně bych prosil, kdybychom se mohli podívat třeba na ad i) popsat všechny jednotlivé části nerovnice.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-12/15641_adi.PNG

a u ad ii) je

Pokud bychom se mohli podívat na jednotlivé části nerovnice.

A poté celkový výsledek důkazu

Děkuji za odpověď!

Rumburak

↑ simstriks:

Operátor $T$ je pro $y \in X$ definován předpisem

$(Ty)(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y(t))\,\d t , x \in \langle x_0 - h , x_0 + h\rangle$ ,

takže pro uvažovaná $x$ a $y, z \in X$ je

(I) $(Ty)(x) - y_0 = \int_{x_0}^x f(t,y(t))\,\d t$ ,

(II) $(Ty)(x) - (Tz)(x) = \int_{x_0}^x f(t,y(t))\,\d t - \int_{x_0}^x f(t,z(t))\,\d t = \int_{x_0}^x [f(t,y(t)) - f(t,z(t))]\,\d t$ .

A. Nejprve předpokládejme, že $x > x_0$ . Podle obecných vět o vlastnostech integrálu platí (stručně formulováno):

(a1) $$\forall_{t \in (x_0, x)} u(t) \le v(t)$ \Rightarrow \int_{x_0}^x u(t)\,\d t \le \int_{x_0}^x v(t)\,\d t$ ,

(a2) $|\int_{x_0}^x u(t)\,\d t | \le \int_{x_0}^x |u(t)|\,\d t$ ,

pakliže uvedené integrály existují. Tyto vztahy aplikujeme na naši situaci.

Ad (I):

Podle předpokladů dokazované věty je $|f(t,y(t))| \le M$ , takže

$|(Ty)(x) - y_0| = |\int_{x_0}^x f(t,y(t))\,\d t | \le \int_{x_0}^x |f(t,y(t))|\,\d t \le \int_{x_0}^x M\,\d t = M(x-x_0) \le Mh = b$ .

Ad (II): Použijeme již zmíněnou Lagrangeovu větu o střední hodnotě.
Při pevně zvoleném $t$ , pokud $y(t) < z(t)$ , existuje číslo $\eta \in (y(t), z(t))$ takové, že

$f(t, z(t)) - f(t, y(t)) = \frac{\partial f}{\partial y}(t, \eta)\cdot (z(t) - y(t))$

a tedy dle předpokladů dokazované věty bude

$|f(t, z(t)) - f(t, y(t))| = |\frac{\partial f}{\partial y}(t, \eta)|\cdot |z(t) - y(t)| \le L\cdot |z(t) - y(t)|$ .

Případ $y(t) > z(t)$ je analogický, případ $y(t) = z(t)$ je triviální, neboť nalevo i napravo je pak 0.

Vzhledem k maximové metrice je dále $|z(t) - y(t)| \le \varrho(z, y)$ .

Tyto vztahy použijeme při odhadu integrálu v (II):

$|(Ty)(x) - (Tz)(x)| = \\ = |\int_{x_0}^x [f(t,y(t)) - f(t,z(t))]\,\d t | \le \int_{x_0}^x |f(t,y(t)) - f(t,z(t))|\,\d t \le\\\le \int_{x_0}^x L\varrho(z, y)\,\d t =L\varrho(z, y)(x-x_0) \le L\varrho(z, y)h = Lh\varrho(z, y)$ .

B. Případ $x < x_0$ by se řešil analogicky (viz konvence o záměnš mezí u integrálu), případ $x = x_0$ je triviální.

Stačí tak ?

simstriks · 06. 12. 2015 15:12

Super... díky moc za vysvětlení a za Váš čas! :-)

Rumburak · 07. 12. 2015 10:43

↑ simstriks:

Ještě dodám, že v nerovnosti $|(Ty)(x) - y_0| \le b$ pravá strana nezávisí na hodnotě $x \in \langle x_0 - h, x_0 + h\rangle$ ,
proto tato (neostrá) nerovnost zůstane zachována i tehdy, když na levé straně přejdeme k supremu přes uvažovaná $x$ .
Pokud ještě číslo $y_0$ ztožníme s funkcí nabývající na $\langle x_0 - h, x_0 + h\rangle$ konstantně hodnoty $y_0$ , dostáváme
$\varrho(Ty, y_0) \le b$ . Obdobně z nerovnosti $|(Ty)(x) - (Tz)(x)| \le Lh\varrho(z, y)$ plyne $\varrho(Ty , Tz)\le Lh\varrho(z, y)$ .