Matematické Fórum

xxxxx19 · 08. 12. 2015 20:07

Ahoj,
potřeboval bych nějaký jasný hint na:
čim rozšířit nebo čeho využít

$\lim_{x\to0}\frac{(a x+1)^{1/m}-(b x+1)^{1/n}}{x}$

Pak dodám klidně celé řešení sem na web.

Stýv · 08. 12. 2015 20:18

myslím, že pomůže udělat si z toho rozdíl mn-tých odmocnin. a taky si myslím, že to bude docela vopruz počítat;-)

runcorne

↑ xxxxx19:

Ahoj,

nemohlo by to jít l'Hospitalem? Pokud je to povolené?

Poté už mi vychází určitý výraz $\frac{a}{m}-\frac{b}{n}$

EDIT: Dobře :-) měl jsem ten pocit. Tak to pak nevím.

xxxxx19 · 08. 12. 2015 20:20

jo prominte, lHospital je zakazany, ale vysledek uvadis spravny, ten mi tim lhospitalem taky takhle vyšel

rozdil mn-tých odmocnin... muzu to zkusit rozepsat ale co bude nasledovat to nejak jako teda zatim nevidim.

vytautas · 08. 12. 2015 20:33

↑ xxxxx19:

domáca, že ? :) cez ten rozdiel mn-tých odmocnín to ide a keď si to zapíšeš cez sumy tak to nebude ani tak zložité na písanie, si myslím :)

runcorne · 08. 12. 2015 20:39

↑ xxxxx19:

Potom by to možná šlo substitucí $c=\frac{1}{m} ;d=\frac{1}{n}$ binomicky rozvinout -- z toho vytknout x a vykrátit ho.

Tím by měl vzniknout předpolední člen rozvoje, kde bude ${c \choose c-1}a-{d \choose d-1}b =ca-da = \frac{a}{m}-\frac{b}{n}$

Ale jestli je to možné a korektní, to netuším ? Raději se předem omlouvám. :D

Pavel · 08. 12. 2015 20:45

↑ xxxxx19:

Doporučuji rozdělit limitu na dvě jednodušší:

$\lim_{x\to0}\frac{(a x+1)^{1/m}-(b x+1)^{1/n}}{x}=\lim_{x\to0}\frac{(a x+1)^{1/m}-1}{x}+\lim_{x\to0}\frac{1-(b x+1)^{1/n}}{x}$

Odmocninám se pak lze elegantně vyhnout položením substituce $y^m=ax+1$ , resp. $y^n=bx+1$ . Zbytek je triviální.

vytautas · 08. 12. 2015 20:58

↑ xxxxx19:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[m]{1+ax}- \sqrt[n]{1+bx}}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[mn]{(1+ax)^n}- \sqrt[mn]{(1+bx)^m}}{x}= \lim_{x \to 0} \frac{(1+ax)^n-(1+bx)^m}{x} \frac{1}{ \sum_{i=0}^{mn-1} \sqrt[mn]{(1+ax)^i(1+bx)^{mn-1-i}}}= \\ \lim_{x \to 0 } \frac {1+nax+\sum_{i=2}^{n}a_ix^i-1-bmx -\sum_{i=2}^{n}b_ix^i }{x} \frac{1}{ \sum_{i=0}^{mn-1} \sqrt[mn]{(1+ax)^i(1+bx)^{mn-1-i}}}$

už z tohto tvaru je to skoro jasné

xxxxx19

vyřešil jsem to takhle:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-12/82996_Image%2B%252820%2529.jpg
co řikáte? a díky za pomoc.

Matematické Fórum

#1 08. 12. 2015 20:07

Limita: rozdíl n-té a m-té odmocniny lineárních funkcí lomeno x

#2 08. 12. 2015 20:18

Re: Limita: rozdíl n-té a m-té odmocniny lineárních funkcí lomeno x

#3 08. 12. 2015 20:18 — Editoval runcorne (08. 12. 2015 20:24)

Re: Limita: rozdíl n-té a m-té odmocniny lineárních funkcí lomeno x

#4 08. 12. 2015 20:20

Re: Limita: rozdíl n-té a m-té odmocniny lineárních funkcí lomeno x

#5 08. 12. 2015 20:33

Re: Limita: rozdíl n-té a m-té odmocniny lineárních funkcí lomeno x

#6 08. 12. 2015 20:39

Re: Limita: rozdíl n-té a m-té odmocniny lineárních funkcí lomeno x

#7 08. 12. 2015 20:45

Re: Limita: rozdíl n-té a m-té odmocniny lineárních funkcí lomeno x

#8 08. 12. 2015 20:58

Re: Limita: rozdíl n-té a m-té odmocniny lineárních funkcí lomeno x

#9 09. 12. 2015 18:43 — Editoval xxxxx19 (09. 12. 2015 18:43)

Re: Limita: rozdíl n-té a m-té odmocniny lineárních funkcí lomeno x

Zápatí