Matematické Fórum

Crashatorr

Zdravím, ještě jeden příklad bych chtěl postnout, ale tu si vůbec nevím rady
$\Sigma _{k=1}^{\infty }a_{k}^{2}$ , $\Sigma _{k=1}^{\infty }b_{k}^{2}$ konvergují pak $\Sigma _{k=1}^{\infty }b_{k}a_{k}$ konverguje absolutně.

OndrasV · 12. 12. 2015 08:33

Co použít nerovnost $a^{2}+b^{2}\ge 2|ab|$ ?

Crashatorr · 12. 12. 2015 10:57

↑ OndrasV:
Takže
$(a_{k}^{}-b_{k})^{2}\ge 0$
$a_{k}^{2}+b_{k}^{2}\ge 2a_{k}b_{k}$
$|a_{k}^{2}+b_{k}^{2}|\ge |2a_{k}b_{k}|$
$a_{k}^{2}+b_{k}^{2}\ge 2|a_{k}b_{k}|$

Z toho plyne že součtem těch dvou konvergentních řad, dostaneme řadu, která jednak konverguje a druhak ohraničuje řadu $\sum_{k=1}^{\infty } 2|a_{k}b_{k}|$ z toho plyne, že tahle řada taky konverguje, můžu tedy použít asociativní zákon $2\sum_{k=1}^{\infty } |a_{k}b_{k}|$ taky konverguje a tedy jestliže konverguje $\sum_{k=1}^{\infty } |a_{k}b_{k}|$ pak konverguje i $\sum_{k=1}^{\infty } a_{k}b_{k}$ a to absolultně tudíž platí komutativní zákon a konverguje i $\sum_{k=1}^{\infty } b_{k}a_{k}$