Matematické Fórum

Elisa · 12. 12. 2015 18:26 — Editoval Elisa (12. 12. 2015 18:28)

Dobrý den, kde prosím dělám chybu? Výsledek by měl být [2;4]. Moc děkuji
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-12/41198_1212201510197_1.jpg

Jj · 12. 12. 2015 18:58

↑ Elisa:

$\log_4 2 = \frac{1}{2}$ --> rovnice:

$2\log_4 x + \log_4 y = \log_4 16$
$\log_4 x + 2\log_4 y = \log_4 32$

-->

$x^2 y = 16$
$x y^2 = 32$

$\Rightarrow \frac{xy^2}{x^2y}=\frac{32}{16}\Rightarrow \frac{y}{x}=2\Rightarrow y = 2x$

a řekl bych, že to už by mělo výjít.

Al1 · 12. 12. 2015 19:03

↑ Elisa:

Zdravím,

jestliže první rovnici násobíš výrazem $\log_{4}2=\frac{1}{2}$ , pak získáš

$\log_{4}x+\frac{1}{2}\log_{4}y=\frac{1}{2}\log_{4}16\nl \log_{4}x+\log_{4}\sqrt{y}=\frac{1}{2}\cdot 2$

a podobně je chyba na levé straně druhé rovnice

Zde by bylo lepší převést logaritmy na základ 2

Elisa · 12. 12. 2015 19:10 — Editoval Elisa (12. 12. 2015 19:25)

Mockrát děkuji a jak to prosím bude, když je logaritmus v exponentu? Když zavedu substituci, jak bude vypadat v případě s dvojkou před logaritmem? Děkuji
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-12/44059_1212201510200_1.jpg

Jj · 12. 12. 2015 19:52

↑ Elisa:

Něco takového jsem myslím nikdy nepočítal. Možná zkusit přímo substituci

$5^{\log x} = u, \quad 3^{\log y} = v$

--> rovnice

$u^2-v^2=-8, \quad u + v = 4$

pak první rovnice

$(u+v)(u-v) = 4(u-v)=-8\Rightarrow u-v = -2$

a po sečtení s první rovnicí --> u = 1 --> v = 3

takže

$5^{\log x} = 1 = 5^0\Rightarrow x = 1$
$3^{\log y} = 3 = 3^1 \Rightarrow y = 10$

a myslím, že zkouška vyjde.

Elisa · 12. 12. 2015 21:40

Děkuji a substituovaná proměná bude nadruhou, ať je tam $\log_{}x^{2}$ nebo $\log_{}^{2}x$ ?

Al1 · 12. 12. 2015 21:48

↑ Elisa:

$\log_{}x^{2}=2\log_{}x$ , zatímco $\log_{}^{2}x=(\log_{}x)^{2}$ , takže, pokud chceš substituci $\log_{}x=y$ , pak první výraz bude roven $2y$ , zatímco druhý $y^{2}$

Elisa · 12. 12. 2015 22:21 — Editoval Elisa (12. 12. 2015 22:21)

↑ Al1:
A proč se prosím ta 1. rovnice nesubstituje do 2u, 2v?

Jj · 13. 12. 2015 08:20

↑ Elisa:

Protože $5^{2\log x} =\left(5^{\log x}\right)^2 \sim u^2$ a podobně pro v.

To by muselo být $2\,\cdot\,5^{\log x}\sim 2\cdot u$

Elisa · 13. 12. 2015 10:07 — Editoval Elisa (13. 12. 2015 10:07)

Děkuji podle jakého vzorce je toto? Děkuji
$5^{\log x} = 1 = 5^0\Rightarrow x = 1$
$3^{\log y} = 3 = 3^1 \Rightarrow y = 10$

rvyrut · 13. 12. 2015 10:20

$5^{\log x} = 1$

$1= a^0$ , kde $a\ne 0$ , tedy pravou stranu nahradíme
$5^{\log x} = 5^0$

nyní porovnáme exponenty

$\log x = 0$ .... $\log x$ je zápis pro $\log_{10} x$ tedy dle definice logaritmu

$x = 10^0$
$x=1$

druhý zápis je odvozem stejně