Matematické Fórum

Quimby · 13. 12. 2015 22:00

Dobrý večer, nevím si rady s jednoduchým důkazem:

Dokažte, že pro každé lineární zobrazení platí $f(0)=0$

Vím, že pro každé lineární zobrazení platí:(a,b jsou prvky vektorového prostoru a r je skalár)
$I. f(a+b)=f(a) + f(b) \\ II. f(ra)= r.f(a)$

Můj důkaz:
Zkusil bych tedy prostě dosadit.
První podmínka: $f(a+b)=0 \Leftrightarrow a+b=0$
Z toho tedy $a=-b$ Potom s využítím druhé podmínky musí platit $f(a) = f(-b) = -f(b)$
Takže první podmínka je splněna, protože
$f(a+b)=-f(b)+ f(b) = 0$
Druhá podmínka:
$f(r.a) = 0\Leftrightarrow r.a=0$
??? Nevím jak ji moc ověřit. Přijde mi, že to prostě vyplívá z toho zadání, ale to mi přijde, že zas používám, to co dokazuji.
Určitě je to něco jednoduchého jen jsem v tom už dost zamotaný. Tak pokud by mi to někdo objasnil byl bych vděčný.

vanok · 13. 12. 2015 22:18

Ahoj ↑ Quimby:,
Nie tvoj dokaz nie je presvecivy

Ale I, pre x=y=0 ti sa co?
A iste vies, ze + vektoroveho priestoru je zakon grupy.... Tak to vsetko pouzi.

holyduke · 13. 12. 2015 23:34

Ahoj ↑ Quimby:, ↑ vanok:, co takhle?
pokud položíme $r=0=p-p$ pak z II. dostáváme
$f(0)=f(0\cdot a)=f((p-p)\cdot a)=(p-p)\cdot f(a)=p\cdot f(a)-p\cdot f(a)=0$

byk7 · 13. 12. 2015 23:55 — Editoval byk7 (13. 12. 2015 23:55)

↑ holyduke:

Jistě, je to jiná cesta k řešení, ale přijde mi, že je to spíše oklika. Proč prostě nepoužít to, co už napsal vanok?
$f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2 f(0)$ , tj. $f(0)=2f(0)$ a to nám hned dá to, co potřebujeme. :-)

OT: můj 4000tý příspěvek :))

Matematické Fórum

#1 13. 12. 2015 22:00

Důkaz u homomorfismu

#2 13. 12. 2015 22:18

Re: Důkaz u homomorfismu

#3 13. 12. 2015 23:34

Re: Důkaz u homomorfismu

#4 13. 12. 2015 23:55 — Editoval byk7 (13. 12. 2015 23:55)

Re: Důkaz u homomorfismu

Zápatí