Matematické Fórum

Ahoj.
(Předem upozorňuji, že některé pojmy níže jsou formulovány vágně, přesto věřím, že je zřejmé, co jsem jimi chtěl říci.) Zkoumal jsem, zda existuje nějaký operátor E, který by měl podobně "pěkné" vlastnosti jako operátor derivace D. Omezme se např. jen na polynomy s (řekněme) reálnými koeficienty (označme množinu těchto polynomů jako P), tj. D (a E) chápeme jako "funkci" z P do P. Operátor D má vhodné vlastnosti - lze pro f,g z P, c reálné, vyjádřit D(cf), D(f+g) a D(f.g) pomocí f,g,D(f),D(g) (konkrétně D(cf)=c.D(f), D(f+g)=D(f)+D(g) a D(f.g)=D(f).g+f.D(g)).

Hledejme operátor E s "podobnými" vlastnostmi jako D, tj. že E(cf), E(f+g) a E(f.g) lze vyjádřit pomocí f,g,E(f),E(g) (případně pomocí nějakých dalších jednoduchých funkcí závisejících na f,g). Operátor E by měl být "netriviální" a ani by se nemělo jednat o triviální modificaci D (např. E(f):=c.D(f) pro pevné číslo c je triviální modifikace D, rovněž nepovolíme volit E(f)=D(D(f)), ani nepovolíme E=D^{-1} (tj. E je operátor "integrace") apod.) Rovněž by se vztahu pro E(f+g) a E(f.g) neměla explicitně vyskytovat neurčitá x - tím eliminujeme "jednoduchá" E např. tvaru E(f):=x.f (a potom je E(f.g)=E(f).E(g)/x, čemuž se chceme vyhnout) - nebo alespoň povolme taková E, kde se x nevyskytuje ani v E(f) ani v E(f.g) (E(f+g), apod.) ve jmenovateli (tj. např. aby výaz vyjadřující E(f) byl polynomem v f,x a rovněž aby i výrazy vyjadřující E(f+g),E(f.g), apod. byly polynomy v E(f),E(g),x) - ale raději se těmto případům s výskytem x zcela vyhněme.

Pokoušel jsem se tedy hledat E "výrazně odlišný" od D, ale bez úspěchu. Např. hledejme E tak (ale není to nutné), aby se stupeň polynomu E(f) lišil (nejvýše) o 1 od stupně polynomu f. Máte nějaký nápad jak E sestrojit? (Znovu upozorňuji, že požadavky jsou formulovány poněkud vágně, ale snad je jasné, co jsem chtěl říci.) (Např. jsem zkoušel volit E tak, že bude - ten je ovšem rovněž příliš "podobný" D.)