Matematické Fórum

fghfghj

Zdravím,

pokud převedu funkci do polárních souřadnic, tj.

$x=rcos(\varphi )$
$y=rsin(\varphi )$

a chci dokázat o limitě dvou proměnných, že se něčemu rovná. Může toto být akceptováno jako důkaz?

Námitka: Pokud převádím do polárních souřadnic, tak to znamená, že se blížím pod určitým fixním úhlem v rovině (zde si zejména nejsem jistý, zda se skutečně blížíme v nějaké rovině, není to po jakékoliv křivce v daném úhlu?) a zkracuji pouze vzdálenost $r$ , což ovšem nevylučuje možnost se blížit po nějaké složitější trajektorii (např. po parabole $x^2$ atp...), tedy to nic nedokazuje.

Pokud chceme tedy dokázat, že se limita dvou proměnnách, že se něčemu rovná, jaké možnosti máme mimo využití přímo definice?

Děkuji.

OndrasV · 17. 12. 2015 05:16

↑ fghfghj: Polární souřadnice jsou užitečné, ale nejsou univerzální. Pokud se vám podaří po dosazení mít výraz, který nezávisí na úhlu a má limitu, tak jste dokázal,že limita existuje. Pokud máte výraz, který závisí na úhlu a limita se pro různé úhly liší, tak jste dokázal, že limita neexistuje.

Někdy pomůže přímka, kde se zkoumá závilost na směrnici a někdy zas $y=x^{a}$ , kde a je pevné vhodně zvolené číslo. Bohužel univerzální postup pro více proměnných neexistuje, spíš to chce cvik, praxi a trochu štěstí.

Matematické Fórum

#1 16. 12. 2015 22:03 — Editoval fghfghj (16. 12. 2015 22:08)

Limita - převod do polárních souřadnic je důkaz?

#2 17. 12. 2015 05:16

Re: Limita - převod do polárních souřadnic je důkaz?

Zápatí