Matematické Fórum

holyduke · 17. 12. 2015 18:47

Ahoj,
nějak nemůžu pochopit následující důkaz, že pole rac fcí není archimédovské.
Ten důkaz je: vezměme $x=\frac{1}{t}$ a $y=1$ . Potom $\frac{n}{t}<1$ pro každé přirozené n.

Není mi jasný, jaktože to platí pro každé n? Kdyby například n=1 tak mám 1/t a to je v bodě t=0,5 určitě větší než 1.

Wotton · 17. 12. 2015 21:08

já myslím, že je tím mylšeno, že pro každé n je pro nějaké t platné,...

alespoň tak bych chápal uspořádání funkcí.

holyduke

↑ Wotton:
Takže v podstatě pro jakékoliv n přirozené existuje určitě nějaké t tak, že n/t<1 a tím je vyvráceno, že rac fce tvoří archimédovské pole. Tak?

Wotton · 18. 12. 2015 20:16

↑ holyduke:
alespoň já tomu tak rozumím

holyduke · 19. 12. 2015 09:05

↑ Wotton:
Ok, ostatní asi mlčky souhlasí :) díky!

Pavel · 19. 12. 2015 14:30

↑ holyduke:

Je třeba si uvědomit, jak je definováno uspořádání v tělese racionálních funkcí. Nejedná se totiž o klasické uspořádání, které znáš z číselných oborů. To uspořádání funguje jinak.

holyduke · 19. 12. 2015 14:53

↑ Pavel:
Ahoj, díky za reakci, bohužel však nevím, jak to myslíš. Vím že relace uspořádání musí být relfexivní, tranzitivní a antisymetrická, jak to ale souvisí s tímto? Díky

Pavel · 19. 12. 2015 16:20

↑ holyduke:

Nechť $R(t)$ a $S(t)$ jsou dvě racionální funkce proměnné $t$ . Jak se v tělese racionálních funkcí definuje uspořádání $R(t)<S(t)$ ? To je důležité si ujasnit, protože uvedená nerovnost nemá s funkčními hodnotami obou funkcí v nějakém bodě $t$ (jak ses zmínil ve svém prvním příspěvku) nic společného.

holyduke

↑ Pavel:
Aha. Máme to definováno takto:

Je-li F uspořádané pole, pak na F nazveme ostré uspořádání takto:
$x<y$ jestli-že $y-x\in P$ kde P je podmnožina F.

V mém případě tedy asi $R(t)<S(t)$ pokud $S(t)-R(t)\in P$ kde P bude nějaký výběr racionálních fcí?
No a teď si nejsem jistý, ale mám v podstatě dvě možnosti, buď $1-\frac{1}{t}\in P$ nebo $\frac{1}{t}-1\in P$ (z definice uspořádaného pole). Takže když vezmu, že $R(t)=\frac{1}{t}$ , $S(t)=1$ a $1-\frac{1}{t}\in P$ dostávám $\frac{1}{t}<1$ .

Je tohle dobrej začátek? Protože dál moc nevím, jak do toho zapojit to n-ko :/

Pavel · 19. 12. 2015 18:25

↑ holyduke:

A právě o tu podmnožinu $P$ jde. Stačí pak ukázat, že $1-\frac nt\in P$ pro libovolné $n\in\mathbb N$ .

holyduke · 19. 12. 2015 18:39

↑ Pavel:
napadá mě tohle:
Nechť záporná celá čísla $(-1,-2,-3,-4, ...)\subset P$ Pak podle definice uspořádaného pole platí $-n\cdot \frac{1}{t}\in P$ kde $n\in\mathbb N$ . Znovu podle definice uspoř. pole platí $1+\frac{-n}{t}\in P$ a tím dostáváme $\frac{n}{t}<1$ a tím je dokázáno, že Rac fce netvoří archimédovské pole.

Může to tak být?

Pavel · 19. 12. 2015 19:37

↑ holyduke:

Každou racionální funkci lze vyjádřit ve tvaru

$R(t)=\frac{a_nt^n+\dots+a_1t+a_0}{t^m+b_{m-1}t^{m-1}+b_0}\,, a_n\neq 0.$

Pak

$R(t)\in P\quad\Leftrightarrow\quad a_n>0.$

holyduke · 19. 12. 2015 19:56

↑ Pavel:
A jak z toho vyplývá $1-\frac nt\in P$ ?

ten můj ↑ holyduke: důkaz je špatně v čem?

Pavel · 19. 12. 2015 20:20 — Editoval Pavel (19. 12. 2015 20:22)

↑ holyduke:

Z Tvého důkazu není jasné, jaké kritérium musí racionální funkce splňovat, aby patřila do P. Je třeba nějak charakterizovat množinu P, aby se z toho daly vyvodit závěry pro konkrétní racionální funkce. Proč by např. mělo platit, že $-n\cdot \frac{1}{t}\in P$ ? Navíc jestli dle Tvého do P patří záporná celá čísla, pak by podle definice uspořádaného pole měly do P patřít i jejich druhé mocniny, což jsou však čísla kladná.

---

To, že $1-\frac nt\in P$ , vyplývá přímo vlastnosti, pomocí níž jsem P definoval.

holyduke

↑ Pavel:
Aha to s temi druhymi mocninami mi nedoslo :)
___
Uz to vidim, jasny.
Diky za Tvou trpelivost!

Matematické Fórum

#1 17. 12. 2015 18:47

archimédovské pole - důkaz rac fcí

#2 17. 12. 2015 21:08

Re: archimédovské pole - důkaz rac fcí

#3 17. 12. 2015 21:15 — Editoval holyduke (17. 12. 2015 21:15)

Re: archimédovské pole - důkaz rac fcí

#4 18. 12. 2015 20:16

Re: archimédovské pole - důkaz rac fcí

#5 19. 12. 2015 09:05

Re: archimédovské pole - důkaz rac fcí

#6 19. 12. 2015 14:30

Re: archimédovské pole - důkaz rac fcí

#7 19. 12. 2015 14:53

Re: archimédovské pole - důkaz rac fcí

#8 19. 12. 2015 16:20

Re: archimédovské pole - důkaz rac fcí

#9 19. 12. 2015 17:51 — Editoval holyduke (19. 12. 2015 17:55)

Re: archimédovské pole - důkaz rac fcí

#10 19. 12. 2015 18:25

Re: archimédovské pole - důkaz rac fcí

#11 19. 12. 2015 18:39

Re: archimédovské pole - důkaz rac fcí

#12 19. 12. 2015 19:37

Re: archimédovské pole - důkaz rac fcí

#13 19. 12. 2015 19:56

Re: archimédovské pole - důkaz rac fcí

#14 19. 12. 2015 20:20 — Editoval Pavel (19. 12. 2015 20:22)

Re: archimédovské pole - důkaz rac fcí

#15 19. 12. 2015 21:03 — Editoval holyduke (19. 12. 2015 21:04)

Re: archimédovské pole - důkaz rac fcí

Zápatí