Matematické Fórum

xxxxx19

Ahoj, nějakej hint na:

$\lim_{x\to0}\,\frac{x^{k+1}}{\cos(\frac{\pi}{2}\cos(x))}$ ?

Pro $k=1$ vychází $\frac{4}{\pi}$ . Pro nižší myslim že je to $\infty$ a pro vyšší $0$ .

BEZ LOPITACE.

Díky za nápady.
Pokud naznačíte a já pochopim tak vložim kompletní řešení.

edit: Co nějak využít toho, že víme:
$\lim_{x\to 1} \, \frac{\pi (1-x)}{2 \cos \left(\frac{\pi }{2}x\right)}=1$

Freedy · 20. 12. 2015 21:25

Ahoj,

k je přirozené? reálné? celé? komplexní?
Je lepší to nejprve specifikovat.

můžeš například postupovat takto.
Víš, že $\cos x = \sin \bigg(\frac{\pi }{2}-x\bigg)$ tedy
$\lim_{x\to0}\frac{x^{k+1}}{\sin \big(\frac{\pi }{2}(1-\cos x)\big)}=\frac{2}{\pi }\lim_{x\to0}\frac{\frac{\pi }{2}(1-\cos x)}{\sin \big(\frac{\pi }{2}(1-\cos x)\big)}\cdot\frac{x^{2}}{1-\cos x}\cdot x^{k-1}$

nyní využiješ věty o limitě složené funkce a větu o aritmetice limit a dostaneš, že
$\lim_{x\to0}\frac{\frac{\pi }{2}(1-\cos x)}{\sin \big(\frac{\pi }{2}(1-\cos x)\big)}=1$
$\lim_{x\to0}\frac{x^{2}}{1-\cos x}=2$

Tedy pro k = 1 máš požadovaný výsledek.
Pro k>1 sám usoudíš výsledek. Pokud je k celé, pak pro k<1 ihned výsledek také plyne.

xxxxx19 · 20. 12. 2015 21:49

Nakonec jsme to vyřešili podobně. Ale ještě bych varoval před tím závěrem. Navrhuji se omezit na Celočíselné k. Vzhledem k tomu, že tam nemáme něco jako $x\to0_+$ tak musíme rozlišit pro k<1 paritu.

Poznamenejme, že původní příklad vypadal trochu jinak, takže tady jej uvádím celý.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-12/44393_12422071_10205490463678228_2009161356_o.jpg

Freedy · 20. 12. 2015 22:00 — Editoval Freedy (20. 12. 2015 22:00)

Pokud bereš k celé, tak si to ale prohoď, protože pokud je k sudé, potom (k-1) je liché a tedy limita neexistuje. Pro k liché naopak existuje a je rovna +nekonečnu.

Matematické Fórum

#1 20. 12. 2015 19:34 — Editoval xxxxx19 (20. 12. 2015 19:40)

Limta s vnořeným cos( pi/2 cos(x))

#2 20. 12. 2015 21:25

Re: Limta s vnořeným cos( pi/2 cos(x))

#3 20. 12. 2015 21:49

Re: Limta s vnořeným cos( pi/2 cos(x))

#4 20. 12. 2015 22:00 — Editoval Freedy (20. 12. 2015 22:00)

Re: Limta s vnořeným cos( pi/2 cos(x))

Zápatí