Matematické Fórum

p4too · 21. 12. 2015 22:33

Dobry vecer,
mam takyto priklad
$y=y'+\frac{a}{y'}$

Spravym si substituciu
$y'=\frac{dy}{dx}=p$
Z toho
$y=p+\frac{a}{p}$ /*p
$py=p^2+a$
Zderivujem podla x, cize
$p^2+yp'=2pp'x+p^2$
$yp'=2pp'x$
$y=2px$
$\frac{y}{2x}=p$
$\frac{y}{2x}=\frac{dy}{dx}$
$\frac{dx}{2x}=\frac{dy}{y}$
$\frac{1}{2}ln(cx)=lny$
$(cx)^\frac{1}{2}=y$
$y'=\frac{1}{2}(cx)^-\frac{1}{2}$
z toho po dosadeny
$c=\frac{1}{2-4a}$
$y=\sqrt\frac{x}{2-4a}$

Problem je ze to malo vynst
$y=\pm 2\sqrt{ax}$

Kde som spravil chybu ?? Plus este ako sa vola inak takyto typ prikladu lebo podla vyrazu "metoda derivacii" toho vela neviem najst
diki moc

Brano · 21. 12. 2015 22:57

ako si sa dopracoval k tomuto?
$p^2+yp'=2pp'x+p^2$
ak je $a$ konstanta tak $(p^2+a)'=2pp'$

p4too · 21. 12. 2015 23:48 — Editoval p4too (21. 12. 2015 23:55)

Ako ti vyslo z $py$ $2pp'$ ??
nemalo by to byt
$\frac{dpy}{dx}=p'y+py'=p'y+pp=p'y+p^2$

A navyse ked zderivujes tu zatvorku tak
$(p^2+a)'=2pp'+0=2pp'$

Brano · 22. 12. 2015 00:06 — Editoval Brano (22. 12. 2015 00:08)

↑ p4too:
ved ja som nemal ziaden problem s lavou stranou ale s pravou a ked sa pozries, tak ta zderivovana zatvorka co pises je presne taka ako som napisal ja
moja otazka bola ako sa ti tam teda zjavilo $...=2pp'x+p^2$ a preco tam nemas $...=2pp'$ ?

Jj · 22. 12. 2015 11:59

p4too napsal(a):
Plus este ako sa vola inak takyto typ prikladu lebo podla vyrazu "metoda derivacii" toho vela neviem najst
diki moc

Jedná se o diferenciální rovnici prvního řádu nevyřešenou (taky "nerozřešenou") vzhledem k derivaci.

p4too · 22. 12. 2015 13:23

Ja som zle opisal zadanie, ma tam byt este x cize
$y=y'x+\frac{a}{y'}$

Spravym si substituciu
$y'=\frac{dy}{dx}=p$
Z toho
$y=px+\frac{a}{p}$ /*p
$yp=p^2x+a$
Po derivovany podla x
$p^2+yp'=2pp'x+p^2+0$
No a otialto je to uz totozne z prvym prispevkom

$yp'=2pp'x$
$y=2px$
$\frac{y}{2x}=p$
$\frac{y}{2x}=\frac{dy}{dx}$
$\frac{dx}{2x}=\frac{dy}{y}$
$\frac{1}{2}ln(cx)=lny$
$(cx)^\frac{1}{2}=y$
$y'=\frac{1}{2}(cx)^-\frac{1}{2}$
z toho po dosadeny
$c=\frac{1}{2-4a}$
$y=\sqrt\frac{x}{2-4a}$

Problem je ze to malo vynst
$y=\pm 2\sqrt{ax}$

Jj · 22. 12. 2015 14:51

↑ p4too:

1. $y=px+\frac{a}{p}$

2. $y'=\color{red}p'x+p-\frac{ap'}{p^2}=p$

3. Vyřešit červenou rovnici: $\Rightarrow p=\cdots$

a dosadit za p přímo do rovnice ad 1. - což "obvykle"
dává řešení úlohy. Zkouška je nutná!

Brano · 22. 12. 2015 16:09

ved tu
$(cx)^\frac{1}{2}=y$
ti uz vysiel vysledok.
naco pocitas dalej? a co tam vlastne do coho dosadzujes? to mi vobec nie je jasne.

p4too · 22. 12. 2015 16:20

Mne to vyslo
$y=\sqrt(cx)$
ale vysledok ma byt
$y=\pm 2\sqrt{ax}$

cize este je potrebne vypocitat c a tu dvojku dako pred tu odmocninu ....

Brano · 22. 12. 2015 16:32

aha tak uz chapem ... no ale potom si to zle zderivoval
$y'=\frac{1}{2}(cx)^{-1/2}c$ cize to c ti tam chyba.

Jj · 22. 12. 2015 17:04

↑ p4too:

Po úpravě znění rovnice ještě dodám:

Rovnice má tvar $y = y'\cdot x + \psi(y')$ , jedná se o Clairautovu rovnici.

Postup řešení jsem zhruba uvedl tady ↑ Jj:, tzn.

- vyřešit rovnici $p'x+p-\frac{ap'}{p^2}=p\Rightarrow p'\left(x-\frac{a}{p^2}\right)=0$

takže:

a) p' = 0 --> p = C --> jedno (obecné) řešení $y_1=C\cdot x + \frac{a}{C}$

b) $x-\frac{a}{p^2}=0\Rightarrow p=\pm \sqrt{\frac{a}{x}}$

--> druhé (singulární) řešení

$y=\pm \sqrt{\frac{a}{x}}\cdot x\pm \frac{a}{\sqrt{\frac{a}{x}}}=\pm 2\sqrt{ax}$

p4too · 22. 12. 2015 19:35

Diki Brano, prechadzal som to asi 10x a nevsimol som si to ...
Jj ties diki ale tym sposobom sme to nerobili a nechcem sa dopliest.

Matematické Fórum

#1 21. 12. 2015 22:33

odr metoda derivacii/derivovania

#2 21. 12. 2015 22:57

Re: odr metoda derivacii/derivovania

#3 21. 12. 2015 23:48 — Editoval p4too (21. 12. 2015 23:55)

Re: odr metoda derivacii/derivovania

#4 22. 12. 2015 00:06 — Editoval Brano (22. 12. 2015 00:08)

Re: odr metoda derivacii/derivovania

#5 22. 12. 2015 11:59

Re: odr metoda derivacii/derivovania

p4too napsal(a):

#6 22. 12. 2015 13:23

Re: odr metoda derivacii/derivovania

#7 22. 12. 2015 14:51

Re: odr metoda derivacii/derivovania

#8 22. 12. 2015 15:26 Příspěvek uživatele p4too byl skryt uživatelem p4too. Důvod: blbost som napisal

#9 22. 12. 2015 16:09

Re: odr metoda derivacii/derivovania

#10 22. 12. 2015 16:20

Re: odr metoda derivacii/derivovania

#11 22. 12. 2015 16:32

Re: odr metoda derivacii/derivovania

#12 22. 12. 2015 17:04

Re: odr metoda derivacii/derivovania

#13 22. 12. 2015 19:35

Re: odr metoda derivacii/derivovania

Zápatí