Matematické Fórum

veasse · 15. 12. 2015 19:15

Nevěděl by někdo prosím?- Najděte množinu stredu vsech tětiv dane kružnice, ktere maji delku m < 2r

zdenek1 · 15. 12. 2015 20:03

↑ veasse:
a v čem je problém?
Nakresli si pár tětiv a zamysli se jaká je vzdálenost středu tětivy od středu kružnice.

veasse · 16. 12. 2015 15:07

A jak mam tu vzdálenost vyjádřit prosim?↑ zdenek1:

Honzc · 17. 12. 2015 05:53 — Editoval Honzc (17. 12. 2015 05:55)

↑ veasse:
Poradím ti.
Všechny tětivy kružnice mají délku menší než 2r (což je průměr kružnice) vyjma těch, které prochází středem kružnice. Jejich středy tedy vyplní co?
A u těch, které prochází středem kružnice leží jejich střed kde?

Jj · 22. 12. 2015 12:37

↑ veasse:

A což takto:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Rumburak

↑ veasse:

Ahoj.

Z obrázku od kolegy ↑ Jj: by to mělo být jasné, nicméně rozeberme to podrobněji.

Dáno:

1) kružnice $k$ o středu $S$ a poloměru $r > 0$ ,

2) číslo $m \in (0, 2r)$ .

Tětiva $AB$ kružnice $k$ nechť má délku $m$ . Označme $C$ střed tětivy $AB$ .
Co můžeme říci o trojúhelníku $\Delta SCA$ ?

veasse · 26. 12. 2015 15:15

Nevim co můžeme říct o tom trojúhelníku...a z toho obrázku stále nevím jak to vyjádřit tu množinu symbolicky...asi ten střed tetivy muze ležet kdekoliv krome středu samotne kruznice k, ale nevím jak to zapsat↑ Rumburak:↑ Rumburak:

Akojeto

↑ veasse:

Ty to stále berieš ako úplne všetky tetivy.

Ale úloha je asi o všetkých tetivách JEDNEJ DĹŽKY.

Poriadne si prečítaj, čo ti ľudia píšu. A pozri si obrázok od Jj. O tom je to.

JEDNA DĹŽKA

veasse · 27. 12. 2015 07:48

Mas pravdu, brals jsem to jako všechny ruzne delky mensi nez 2r...děkuju↑ Akojeto:

Rumburak

↑ veasse:

Střed $C$ KONKRETNĚ ZVOLENÉ tětivy $AB$ nemůže být kdekoliv, ale je to právě jeden bod, a sice střed
úsečky $AB$ . Určitě leží uvnitř kruhu ohraničeného danou kružnici. Při tom ovšem platí, že libovolný bod
ležící uvnitř uvedeného kruhu je středem některé z tětiv dané kružnice.

Trojúhelník $\Delta SCA$ má při vrcholu $C$ pravý úhel, takže podle Pythagorovy věty je

(1) $|CS|^2 + |CA|^2 = |SA|^2$ ,

kde $|SA| = r$ a $|CA| = \frac{m}{2}$ , což dosadíme do rovnice (1) a tím dostaneme

(2) $|CS|^2 + \frac{m^2}{4} = r^2$ .

Zajímají nás všechny a pouze ty případy, kdy $0 < m < 2r$ , takže $m^2 < 4r^2$ . Podle (2) pak máme

$r^2 = |CS|^2 + \frac{m^2}{4} < |CS|^2 + \frac{4r^2}{4} = |CS|^2 + r^2$ ,
tedy
$r^2 < |CS|^2 + r^2$ ,
$0 < |CS|^2$ ,
$0 < |CS|$ ,
(3) $C\ne S$ .

Snadno nahlédneme, že podmínka (3) je s podmínkou $|AB| < 2r$ ekvivalentní.

Závěr:

Do vyšetřované množiny patří právě všechny body $C$ , které leží uvnitř kruhu ohraničeného danou kružnící
a jsou různé od jejího středu.