Matematické Fórum

Ahoj ↑ Monulin215:,
Skutocne dana matica ma jedinu vlastnu hodnotu 2 ( stvornasobny koren charakteristickeho polynomu )
je priestor ktory sa da vyjadrit ako mnozina vektorov formy r,s parametre. ( Lin. komb. vlastnych vektorov)
A ten tu je dimension 2.
( tvoja otazka o dimensii nie je dost presne polozena...)
Pochopitelne A nie je diagonalizovatelna matica....
Dobre pokracovanie.

No já právě asi potřebuju pochopit, jak zjistit ty vlastní vektory, abych mohla zjistit dimenzi příslušných podprostorů. Abych trochu víc osvětlila svoji otázku, tak popíšu postup ze skript.

Postup pro zjištění vlastních vektorů:

1. Zjistíme vlastní hodnoty.
2. Pro každou vlastní hodnotu počítáme
   
    Kde x je právě ten vlastní vektor, A je zadaná matice, In je jednotková matice a lambda je vlastní hodnota.
3. Když tam dosadím svou spočítanou vlastní hodnotu dva, dostanu soustavu rovnic, kterou převedu na matici:
    0 -1 0  0 | 0
    0  0 0  0 | 0
    0  0 0 -1 | 0
    0  0 0  0 | 0
4. Po úpravě dostanu právě tu matici, kterou jsem uvedla hned v dotazu:
    0 1 0 0 | 0
    0 0 0 1 | 0
    0 0 0 0 | 0
    0 0 0 0 | 0
5. Z toho vyplývá, že řešení je nekonečně mnoho a dvě proměnné si zvolím jako parametry. Dostanu tedy vektor
    r
    0
    s
    0
6. Potom si ve skriptech dosadili nějaké číslo za parametry a řekli, že například toto je vlastní vektor. Ale vy uvádíte, že jsou vektory dva. Tento postup už tam napsaný nemáme a já netuším, jak se z řešení v kroku 5 dostanu k tomu, že vlastní vektory existují dva a dimenze podprostoru je tedy taky dva.

Ukážu ještě, jak se řeší soustavy s jinými maticemi.

Upřesním ještě, že se ceou dobu bavíme o řešení homogenní soustavy, tj. takové, která má pravou stranu nulovou. Není-li pravá strana nulová, hledá se tzv partikulární řešení, a to v podobě jediného vektoru, ve kterém se opět zvolí hodnoty složek odpovídajících sloupcům bez schodu, tentokrát je výhodné dát všude nuly, aby bylo minimum počítání, ostatní složky se dopočítají.

Takže, máme homogenní soustavu


1 0 0 0 0 0 5 | 0
0 0 2 3 5 0 1 | 0
0 0 0 0 10 8 -2 | 0
0 0 0 0 0 1 4 | 0

Schody nejsou v druhém, čtvrtém a šestém sloupci, to jsou dohromady 3 sloupce, takže hledám 3 vektory. Jejich tvar bude

(a 1 b 0 c 0)
(e 0 f 1 g 0)
(h 0 i 0 j 1)

Dopočítání konstant a-j se dělá dosazováním do rovnic soustavy odspoda. Výhodné je si předepsat volené složky a ostatní rovnou dopočítávat, vlastně se to a-j nemusí psát, píšu to jen sem, aby to bylo nějak jasné, doufám :-).

Řešení je pak libovolná lineární kombinace těchto vektorů.

Tak a ještě extrémní případ

0 0 2 5 0 0 0 | 0
0 0 0 0 0 -5 0 | 0

Schody nejsou v 1., 2., 4., 5. a 7. sloupci, tj. v pěti sloupcích, takže v lineární kombinaci coby řešení bude pět vektorů, a to tvaru

(1 0 a 0 0 b 0)
(0 1 c 0 0 d 0)
(0 0 e 1 0 f 0)
(0 0 g 0 1 h 0)
(0 0 i 0 0 j 1)


Všechna řešení budou opět všechny lin. komb. těchto vektorů s dopočítanými a-j

Tak je to teď jasnější?

Když oni se ptali na dimenze podprostorů, tak se vlastně nemusela ani ta soustava řešit, ale stačilo se podívat, kolik je sloupců bez schodu pro dané vlastní číslo a z toho je hned vidět, z kolika vektorů je lineárně nakombinováno řešení.

Je dobré si všimnout, že volené složky se volí tak, aby byly vektory lin. nezávislé, takže vskutku generují prostor takové dimenze, kolik jich je.

Ahoj ↑ Monulin215:,
Tvoj zapis ako aj ten co som napisal vo forme jadra su ekvivalentne, ( a tak ich najdes podla pouzitych knih).
Spravne  si dokazala, ze riesenia v tvojom pripade sa pisu vo forme r,s parametre
( t znamena transpoziciu,  cize ide o stlpce)
Cize kazdy z tychto vektorov je jeden vlastny vektor asociovany k vlastnej hodnote
Napisat taky vektor vo forme linearnej kombinacie dvoch linearne nezavyslich vektorov ma vyhodu, ze umoznuje nast jednoducho bazu najdeneho priestoru.
Poznamka: tento vyraz ze neznamena, ze mame dva vlastne vektory v najdenom priestore, ale ze medzi vsetkymy vlastnymi vektormy najdeneho priestoru mozeme najst jednu moznu  jeho bazu.