Matematické Fórum

Nebo ještě rada: Vzpomeň si, co je potřeba udělat s předpisem funkce, aby se její graf otočil kolem osy x resp. y. Je to hra se znaménky před argumentem resp. celým předpisem. Připomínám, že středová souměrnost podle počátku je složení osové souměrnosti podle osy x a pak podle osy y, nebo naopak.

Jo. Doplnění na lichou funkci není správně. Lichá funkce splňuje f(-x) = -f(x) pro všechna x z definičního oboru. Takhle se to obvykle píše. Ale dá se substituce y = -x, dostaneme f(y) = -f(-y) a pak pro standardnost argumentu ještě substituce x = y. Máme

f(x) = -f(-x).         (*)

Teď už by to mělo být jasnější. Tím mínusem vpravo v argumentu se graf f překlápí kolem y-ové osy a mínusem vpravo před f se graf f překlápí podle x-ové osy. Takže když takhle zobrazíš libovolný bod grafu f, zobrazí se souměrně podle počátku zase na nějaký bod grafu f. Nakresli si to a uvědom si, co je ta souměrnost podle počátku.

Tenhle dosavadní zápis platí pro celkové f definované na nějakém intervalu symetrickém kolem nuly.

Teď máš funkci f definovanou na (0,c), c kladné. Dodefinovat ji na (-c,0) liše znamená vyrobit funkci g definovanou na (0,c) jako f(x) - tím zachováme, co máme - a na (-c,0) jako -f(-x). Rozmysli si, že g je dle (*) skutečně lichá.

(Vskutku: Chceme ukázat, že g(t) = -g(-t) pro všechna t z (-c,0)U(0,c). Zvome nejprve libovolné t z (0,c), tedy t kladné. Je dle definice g g(t) = f(t). Co mi vyjde, když udělám -g(-t)? Rád bych, kdyby vyšlo taky f(t). Ale opravdu (pozor, t je bráno kladné, takže -t je záporné, musíme tedy podle definice g jít do větve příslušné zápornému argumentu): -g(-t) = -(-f(-(-t))) = f(t). Pro t z (-c,0) to vyjde obdobně - zase vyjde pokaždé -f(-t). Takže g je opravdu lichá.)

Při lichém dodefinování z poloroviny s kaldným resp. záporným x se obtiskne graf do poloroviny se záporným resp. kladným x souměrně podle počátku.

Tvůj pokus o doplnění na lichou funkci už od pohledu na graf není lichý, protože není souměrný podle počátku.

Zajdi si na Wolframalpha, napiš tam libovolnou funkci proměnné x a zkus přidat k x mínus a před funkční předpis taky a dívej, co se stane s grafem.