Matematické Fórum

Freedy · 29. 12. 2015 22:25 — Editoval Freedy (29. 12. 2015 22:26)

Ahoj,

rád bych poprosil zde zkušené matematiky, jak postupovat při určování monotonie následující posloupnosti:
$a_n=\frac{(n+2)^n}{n^{n+2}}$

Jediné co mě napadlo je, že tato posloupnost má kladné členy a $\lim_{n\to\infty }a_n=0$ , nicméně tyto vlastnosti se objevují i u posloupností, které nejsou monotónní.
Proto bych rád věděl, jak upravit nerovnost:
$\frac{(n+2)^{n}}{n^{n+2}}\ge \frac{(n+3)^{n+1}}{(n+1)^{n+3}}$
abych z toho vytáhl, že to platí :)

Díky za rady.
Freedy

Stýv · 29. 12. 2015 22:50

ukaž, že $\frac{a_{n+1}}{a_n}>1$

Freedy · 29. 12. 2015 23:51 — Editoval Freedy (30. 12. 2015 00:59)

ok dobře, tak už to zřejmě vyšlo -.-
$\frac{(n+3)^{n+1}n^{n+2}}{(n+1)^{n+3}(n+2)^{n}}\le 1$
$\frac{n\cdot ((n+3)n)^{n+1}}{(n+1)^3\cdot((n+1)(n+2))^n}\le 1$
to můžu upravit využitím toho, že $\sqrt[n]{a}\ge 1,\forall a\in \langle1;\infty ),n\in \mathbb{N}$ , tedy
$\frac{(n+3)\sqrt[n]{n+3}\cdot n\sqrt[n]{n^2}}{(n+1)\sqrt[n]{(n+1)^3}\cdot (n+2)}\le 1$
což je to samé jako
$\frac{(n+3)n}{(n+1)(n+2)}\cdot\sqrt[n]{\frac{n^2(n+3)}{(n+1)^3}}\le 1$
tady posloupnost je nerostoucí

Matematické Fórum

#1 29. 12. 2015 22:25 — Editoval Freedy (29. 12. 2015 22:26)

Posloupnost - monotonie

#2 29. 12. 2015 22:50

Re: Posloupnost - monotonie

#3 29. 12. 2015 23:51 — Editoval Freedy (30. 12. 2015 00:59)

Re: Posloupnost - monotonie

Zápatí