Matematické Fórum

domiblack

Ahojte, mám jedno zadanie a pokus o vyriešenie, ale nakoľko neviem či správny, radšej by som sa chcela o tom poradiť:

Spojitá funkcia f: <0;3> --> <0;3> má obor hodnôt H=<1;2>. Dokážte, že existuje aspoň 1 pevný bod funkcie f, t.j. riešenie rovnice f(x)=x. Označme P množinu pevných bodov funkcie f. Môže platiť, že supP=2, ak je funkcia f prostá? Svoje tvrdenie odôvodnite.

Riešenie:
Položíme novú funkciu g(x) = f(x) - x.
Potom g(0) = f(0) - 0 > 0, pretože hodnoty f(x) sú kladné z intervalu <1;2>.
Podobne g(3)= f(3) - 3 < 0 (z rovnakých dôvodov), čiže funkcia, ktorá je spojitá na kompakte nadobúda na intervale <0;3> aj záporné, aj kladné hodnoty, čiže musí $\exists c: g(c)=0 \Rightarrow f(c)-c=0 \Rightarrow f(c)=c.$

Druhá časť bola viac úvahová a nie som si istá, či boli moje úvahy správne.
Keby bola funkcia f prostá, môže existovať len 1 riešenie rovnice f(x)=x.

Pre g(2) platí, že f(2)-2 $\le$ 0, čiže f(2) $\le 2$ , čiže 2 môže byť riešením. Ak by bolo riešením, potom P={2} a supP=2. Avšak to by bolo v spote s prostosťou, nakoľko by do 2 musela rásť a potom od 2 klesať.
Potom ale je riešenie $1\le x<2$ a teda množine P vieme nájsť supP<2.
Čiže odpoveď je nie?

Vďaka za pomoc!

Brano · 30. 12. 2015 07:57

domiblack napsal(a):
Keby bola funkcia f prostá, môže existovať len 1 riešenie rovnice f(x)=x.

toto nie je pravda - predstav si linearnu lomenu funkciu ktora splna $f(0)=1$ $f(4/3)=4/3$ $f(5/3)=5/3$ $f(3)=2$

skus na to ist takto: dokaz, ze mnozina $P$ je uzavreta (t.j. ak $x_n\in P$ potom aj $\lim x_n\in P$ ) teda ak $2=\sup P$ tak $2\in P$ teda $f(2)=2$ a $f(3)\le 2$ a aj $f(0)\le 2$ co je spor s tym, ze je prosta.