Matematické Fórum

Tanner · 30. 12. 2015 12:06

Zdravím,
Potřeboval bych pomoct s jednou limitou, vím, že má vyjít 1/2, bohužel se k výsledku nemůžu nijak dopracovat a postup z wolframu zrovna 2x dobrý není.

$\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+xsinx}-\sqrt{1-sinx}}{x}$

Děkuji za radu předem :)

Sherlock · 30. 12. 2015 12:18

Rozšířit $\sqrt{1+xsinx}+\sqrt{1-sinx}$ ?

Tanner · 30. 12. 2015 12:44

Mě i po rozšíření stále vychází -1/2 a ne 1/2 právě, mohli by jste prosím rozepsat celý postup?

Al1 · 30. 12. 2015 13:01

↑ Tanner:

Zdravím,

$\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+xsinx}-\sqrt{1-sinx}}{x}=\lim_{x\to0} \frac{1+xsinx-1+sinx}{x\cdot (\sqrt{1+xsinx}+\sqrt{1-sinx})}$

Tanner · 30. 12. 2015 13:06

Ano, tohle mi taky vyšlo, nahoře vytknout sin x a použít vzorec sinx/x pro limitu jdoucí k 0 je 1..ale stále mi po vytknutí vychází v závorce 1/0, což jde k nekonečnu a to mi nesedí.

Sergejevicz · 30. 12. 2015 13:07

↑ Al1:
Jedničky v čitateli se odečtou a x ze začátku jmenovatele přdáš do čitatele jako 1/x, u prvního členu se sinem se x zkrátí a u druhého členu se sinem zbyde ve jmenovateli, ale to tam pak vede na základní limitu ze (sin x)/x pro x -> 0.

Al1 · 30. 12. 2015 13:09

↑ Tanner:

$\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x}\cdot \frac{x+1}{\sqrt{1+xsinx}+\sqrt{1-sinx}}=1\cdot \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}$

Tanner · 30. 12. 2015 13:11

Joo, děkuju moc :) Vždy, když vidím řešení, tak mi to přijde hrozně primitivní :D

Sergejevicz · 30. 12. 2015 13:11

Tanner napsal(a):
... pro limitu jdoucí k 0 ...

Pozor, ne limitu, ale x. x je to, co někam chodí, limita nikam nechodí :-). Naopak, k limitě jdou funkční hodnoty.

V závorce vyjde 2. Vždyť x i sin x jdou k nule, jde-li x k nule, takže i jejich součin jde k nule. pod odmocninami zbydou jedničky a ty se po odmocnění sečtou ne dvojku :-).

Tanner · 30. 12. 2015 13:27

Ještě bych poprosil jednu, dnes už snad poslední limitu :)

$\lim_{x\to1} \frac{sin\sqrt{x}-1}{x-1}$

Je mi jasné, že zase rozšířit, a vyjde mi sin x-1/x-1 což je 1 v čitateli, ale ve jmenovateli mi zůstává

$\sin (\sqrt{x}-1$

Al1 · 30. 12. 2015 13:34

↑ Tanner:

Tato úprava ti zde nepomůže., neboť

$(\sin \sqrt{x}-1)(\sin \sqrt{x}+1)=\sin ^{2}\sqrt{x}-1$

Lepší bude spočítat jednostranné limity.

Tanner · 30. 12. 2015 13:39

Tak teď jsi mě úplně zmátnul, co přesně tím máš na mysli?

Al1 · 30. 12. 2015 13:46

↑ Tanner:

A cože mám na mysli? Prostě spočítej limitu pro x jdoucí k jedné zleva a zprava.
$\lim_{x\to1^{-}} \frac{sin\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac{\sin (1)-1}{<0} =\infty$

V čitateli je hodnota přibliženě -0,1585 a ve jmenovateli číslo o málo menší než nula. Podíl je tedy roven nekonečnu.

Podobně uvažuj limitu pro x jdoucí k jedné zprava.

Tanner · 30. 12. 2015 13:50

Dobře, ale ty limita má podle všeho vyjít 1/2 a nechápu, jak se k tomu výsledku tímhle postupem dopracuju?

Al1 · 30. 12. 2015 13:58 — Editoval Al1 (30. 12. 2015 14:01)

↑ Tanner:

Záleží na spávném zápisu. Tebou zapsaná limita neexistuje, neboť
$\lim_{x\to1^{+}}\frac{\sin \sqrt{x}-1}{x-1}=-\infty$
Tedy obě jednostranné limity nejsou shodné. A původní limita neexistuje.

Tvoje limita je patrně

$\lim_{x\to1} \frac{sin(\sqrt{x}-1)}{x-1}$

ta skutečně vychází 1/2

Tanner · 30. 12. 2015 14:00

Jej, moje chyba..ano, toto je správný zápis, omlouvám se..V tomto případě již roznásobit jde?

Al1 · 30. 12. 2015 14:04

↑ Tanner:

Nikoli, zde tedy užij větu o limitě složené funkce, zaveď substituci $\sqrt{x}-1=u, x\rightarrow1, u\rightarrow0$ a užij základní limitu ze (sin u)/u pro u -> 0.

Tanner · 30. 12. 2015 14:12

Z toho mi tedy vyjde ve jmenovateli 1, ale v té substituci se zatím vůbec neorientuji, jak dosadím zpět, aby mi vlastně vyšlo v čitateli 2?

Al1 · 30. 12. 2015 14:14

↑ Tanner:

$\lim_{x\to1} \frac{sin(\sqrt{x}-1)}{x-1}=\lim_{x\to1} \frac{sin(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$

$(\sqrt{x}-1)=u, (\sqrt{x}+1)=u+2$

Tanner · 30. 12. 2015 14:28

Konečně jsem to trošku pochopil, díky moc! :)

Matematické Fórum

#1 30. 12. 2015 12:06

výpočet limity, prosím

#2 30. 12. 2015 12:18

Re: výpočet limity, prosím

#3 30. 12. 2015 12:44

Re: výpočet limity, prosím

#4 30. 12. 2015 13:01

Re: výpočet limity, prosím

#5 30. 12. 2015 13:06

Re: výpočet limity, prosím

#6 30. 12. 2015 13:07

Re: výpočet limity, prosím

#7 30. 12. 2015 13:09

Re: výpočet limity, prosím

#8 30. 12. 2015 13:11

Re: výpočet limity, prosím

#9 30. 12. 2015 13:11

Re: výpočet limity, prosím

Tanner napsal(a):

#10 30. 12. 2015 13:18 Příspěvek uživatele Tanner byl skryt uživatelem Tanner. Důvod: Už jsem to vyřešil

#11 30. 12. 2015 13:27

Re: výpočet limity, prosím

#12 30. 12. 2015 13:34

Re: výpočet limity, prosím

#13 30. 12. 2015 13:39

Re: výpočet limity, prosím

#14 30. 12. 2015 13:46

Re: výpočet limity, prosím

#15 30. 12. 2015 13:50

Re: výpočet limity, prosím

#16 30. 12. 2015 13:58 — Editoval Al1 (30. 12. 2015 14:01)

Re: výpočet limity, prosím

#17 30. 12. 2015 14:00

Re: výpočet limity, prosím

#18 30. 12. 2015 14:04

Re: výpočet limity, prosím

#19 30. 12. 2015 14:12

Re: výpočet limity, prosím

#20 30. 12. 2015 14:14

Re: výpočet limity, prosím

#21 30. 12. 2015 14:28

Re: výpočet limity, prosím

Zápatí