Matematické Fórum

Já jsem si to teď vyřešil graficky - maticovou resp. tabulkovou metodu zatím neovládám, a normálně mi to vyšlo. Bacha na ty mínusy tam. Já jsem to dělal tak, že jsem si každou nerovnost kromě páté, která v podstatě vymezuje první kvadrant, převedl na tvar s vyjádřeným na levé straně. Jako kdybych se na to díval tak, že je funkcí . Pak snadno nakreslím grafy hraničních čas a podle nerovností i příslušné poloroviny. Hezky se mi to protlo, dokonce ani nezápornosti nebyly potřeba - simplex ležel celý v prvním kvadrantu.

↑ Al1:
Přésněé! :-). A hodnota optima je 972/19.

↑ honza1994:
Nemusí být. Minimum se hledá někde v simplexu, takže to může být klidně na úsečce coby jeho hranici, takže řešením může být celá ta úsečka. To je právě tento případ. Já jsem si účelovou funkci napsal také ve tvaru

(*)   x2 = c*x1 + z,

abych snadno nakreslil průnik jejího grafu s rovinou Ox1x2. Ten průnik je také přímka, která se v tom tvaru (*) hýbe podél x2 podle toho, jaké je z. Když z roste resp. klesá, hýbe se do kladného resp. záporného směru x2. Musíme nejít její průnik se simplexem tak, aby z bylo maximální. To je tedy dle uvedeného v případě, kdy je co "nejvýše", tj. co nejdál od 0 ve směru x2. Když hledám minimum, tak zase "nejníže". Ale ona má ta přímka stejnou směrnici jako hraniční přímka jedné z podmínek, totiž směrnici -3/4, takže se s touto hraniční přímkou kryje a průnikem se simplexem je pak celá úsečka, a řešením je tak libovolný bod na této úsečce, ne jen ty vrcholy - kraje úsečky.

Myslím, že je vždy dobré pořádně rozmyslet, jak vypadá průnik grafu účelové funkce s rovinou Ox1x2 (tady v lin. programování je účelová funkce snad vždy lineární v x1 i x2, jejím grafem je tedy nějaká nakloněná rovina vznášející se nad rovinou Ox1x2 a průnikem je pak přímka) a zamyslet se nad tím, pro jaký pohyb průniku roste a pro jaký klesá, to pak dát do souvislosti s tím, jestli hledám min nebo max.

Napadá mě fígl. Gradient je směr největšího růstu skalární funkce více proměnných. A účelová funkce je takovou funkcí, dvou proměnných. Jde vlastně o funkci . Její gradient je , takže minimum resp. maximum účelové funkce se nacházejí v "nejbližším" resp. "nejvzdálenějším" bodě simplexu, kde blízkost či vzdálenost se myslí ve směru .

↑ Sergejevicz:

:-)