Matematické Fórum

Radon · 14. 04. 2009 15:59

Zdravím, měl bych tu jeden příklad s kterým si nevím moc rady, měl by se řešit přes komplexní čísla
diskriminant výjde záporný -24
moc díky za každou radu

lukaszh · 14. 04. 2009 16:15

↑ Radon:
No a v čom je problém? Diskriminant je vypočítaný, dopočítaj korene a rozlož.

vonSternberk · 23. 04. 2009 08:30

↑ lukaszh:

no tak když je záporný diskriminat tak už snad nemusí počítat dalej ne, protože rovnice nemá žádný kořen...a co když mi vyjde disriminant 0, tak počítám podle vzorce -b/2a a to mi vyjde taky 0, jaká je tedy rovnice?

gadgetka · 23. 04. 2009 08:38

-24 je v oboru komplexních čísel 24i^2, čili $\sqrt{24i^2}=2i\sqrt{6}$

zbytek zvládneš sám :)

vonSternberk · 23. 04. 2009 09:07

↑ gadgetka:

OK, ale co pokud to mám v klasickým algebraickym výrazu (D=-24) a prosím o vysvětlení té 0 pokud ji chci prevést na linearni clen

lukaszh · 23. 04. 2009 09:12

↑ vonSternberk:
Asi by bolo lepšie napísať tú konkrétnu rovnicu.

vonSternberk

tak se omlouvam...protoze koren nemuze vyjit 0

vonSternberk · 05. 05. 2009 10:28

chci se zeptat jak se řeší tato rovnice?

pro která $n\ge0$ má rovnice $x^3+3\sqrt{n} *x+n+1=0$ jeden dvojnásobný kořen

vonSternberk · 05. 05. 2009 14:34

je to tak, že vypočítám diskriminat a ten mi vyjde 5n a to je vysledek??

gadgetka · 05. 05. 2009 15:29

ta trojka znamená trojku nebo třetí odmocninu? :)

vonSternberk · 06. 05. 2009 07:54

pouze 3:)

marnes · 06. 05. 2009 08:46

↑ vonSternberk:Nejsem si jist, že by se kubická rovnice řešila přes diskriminant??

musixx · 06. 05. 2009 10:55 — Editoval musixx (06. 05. 2009 12:54)

↑ marnes: Ale jiste ze da. Ono pojem diskriminantu je malinko obecnejsi vec. Dobre je to videt treba v situaci, kdy uvazis rozsireni telesa racionalnich cisel o koren takoveho polynomu. Pak se dostanou do hry normy ci determinanty a je to... :-)

Ale zpet na stredni skolu: Diskriminant pro kubicky polynom $ax^3+bx^2+cx+d$ je $D=b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd$ , pri castejsim zapisu polynomu (po zname substituci) jako $x^3+px+q$ to pak je $D=-4p^3-27q^2$ . Zejmena existence nasobnych korenu je pak nulovost diskriminantu. Plati i dalsi kriteria pro koreny, podobne jako u polynomu kvadratickych.

EDIT: Nasobne koreny realnych polynomu se take "prozradi" tim, ze jsou to koreny nejvetsiho spolecneho delitele onoho polynomu a jeho derivace. Tudy by tez vedla cesta k reseni. Ovsem to se zda, ze jsme opet mimo standardni stredni skolu...

EDIT2: Vezneme $m=\sqrt n$ . Derivace polynomu $f(x)=x^3+3mx+m^2+1$ je $f^\prime(x)=3x^2+3m$ , zbytek po deleni polynomu f(x) polynomem f'(x) je $h(x)=2mx+m^2+1$ , zbytek po deleni polynomu f'(x) polynomem h(x) je $3m+\frac3{(2m)^2}(m^2+1)^2$ , ktery chceme, aby byl nulovy pro existenci dvojnasobneho korenu (jinak by totiz NSD(f,f') byla konstanta, tedy by neexistoval zadny nasobny koren polynomu f(x)) --> to nam dava polynom $p(m)=4m^3+(m^2+1)^2$ - mimochodem jde primo o -1/27 diskriminantu $D=-4(3m)^3-27(m^2+1)^2$ . Polynom p(m) ma jako jeden koren m=-1, a zbude polynom $q(m)=x^3+3x^2-x+1$ . Polynom q(m) ma jeden zaporny realny koren a dva koreny ryze komplexni. Dale m samo by melo byt kladne (predpokladam, ze hledame realny polynom f(x)). Tedy uloha nema reseni. Hledali-li bychom i reseni komplexni, snadno si muze kazdy dokoncit.

EDIT3: Taky je ale mozne, ze se vonSternberk proste spletl v zadani a u x ma byt pouze druha mocnina, nikoli treti. :-)) Tedy by slo o kvadraticky polynom $f(x)=x^2+3\sqrt nx+n+1$ s diskriminantem $D=(3\sqrt n)^2-4(n+1)=5n-4$ a reseni by bylo $n=\frac45$ .

Ale i tak jsem uz vypocet dokoncil, abych ukazal, jak se da pracovat i s diskriminantem kubickeho polynomu.