Matematické Fórum

Ahoj,

- zapiš tyto rovnice do matice typu (m×n)|p. Tedy matice + pravá strana
- prohoď řádky tak, aby na místě (1,1) bylo nenulové číslo.
- Nyní přičti násobek prvního řádku k i-tému řádku. Tím vynuluješ koeficienty na (i,1) pozicích (pro všechna 1< i <= m) Nyní tento postup rekurzivně opakuj do té doby, než budeš mít odstupňovaný tvar.
(prohoď opět řádky tak, aby na místě (2,2) bylo nenulové číslo a opět přičítej vhodné násobky k řádkům pod.

V rychlosti.. nemám moc čas, sedím tu na fóru už skoro dva dny, baví mě to, ale musím dělat i jiné věci :-D.

Přepiš si to do matice. To máme

1 3 -1 2 | 1
3 5 -11 4 | 9
2 9 5 6 | -2
-2 -2 12 -7 | -7

Je povoleno prohazovat řádky navzájem, násobit řádky číslem a sčítat řádky, nebo jejich násobky.
Řádky se sčítají nebo odečítají tak, že se sčítají a odečítají první prvek s prvním, druhý s druhým atd. Řádek se násobí tak, že se vynásobí každý jeho prvek.

Budu označovat ab číslov a-tém řádku a b-tém sloupci. Tak třeba 11 je číslo v prvním řádku a prvním sloupci, 32 je číslo v třetím řádku a druhém sloupci...

Nejprve první sloupec.

11 je nenulové, to je důležité, a dokonce je tam jednička. Případ, kdy tomu tak není, vyřešíme níže.

Cílem je vyrobit z 21, 31 a 41 nuly. To se udělá přičtením nebo odečtením vhodného násobku prvního řádku k tomu řádku, ve kterém chceme znulovat prvek v prním sloupci.

Tak například 21 je trojka, tak od druhého řádku odečteme trojnásobek prvního. To proto, že 11 je jednička a právě trojnásobek jedničky je trojka a ta z trojky v 21 udělá odečtením nulu.
Kdyby 21 bylo nula, nechám druhý řádek být a jdu dál na třetí řádek.
Dostaneme matici

1 3 -1 2 | 1
0 -4 -8 -2 | 6
2 9 5 6 | -2
-2 -2 12 -7 | -7

Na místě 31 je dvojka, tak od d třetího řádku odečtu dvojnásobek prvního.
A zase, kdyby 31 bylo nula, nechám třetí řádek být a jdu dál na čtvrtý řádek.
Dostaneme matici

1 3 -1 2 | 1
0 -4 -8 -2 | 6
0 3 7 2 | -4
-2 -2 12 -7 | -7

No a 41 znulujeme přičtením dvojnásobku prvního řádku, protože 41 je -2
Opět to s tou nulou...
Dostaneme matici

1 3 -1 2 | 1
0 -4 -8 -2 | 6
0 0 8 0 | -5
0 4 10 -3 | -5

Teď jdu na druhý sloupec, ale začnu podíváním se do druhého řádku, tj. na 22. je tam nenulové číslo, je to dobré. A zase se snažím znulovat všechna čísla pod ním, tj. 32 a 33. Přitom používám násobek druhého řádky (u prvního sloupce jsem používal násobek prvního řádku. Vždy používám nísobek tolikátého řádku, kolikátý sloupec řeším.)

32 už nula je, nechám třetí řádek být a jdu na čtvrtý.
42 je 4, takže k němu přičtu tolikanásobek druhého řádku, aby se mi 42 znuloval. Protože při sčítání druhého a čtvrtého řádku se mimojiné sčítá 22 s 42, tak to znamená, že stačí přičíst právě jednonásobek, protože 22 je -4 a ta jedenkrát přičtená k 4, což je 42, dá ve 42 nulu.
Máme

1 3 -1 2 | 1
0 -4 -8 -2 | 6
0 0 8 0 | -5
0 0 2 -5 | 1

Podobně s třetím sloupcem a budu nulovat jen prvek 43 pomocí třetího řádku

Když nemám na místě ii (na diagonále) nenulový prvek, zpřeházím řádky tak, aby už tam byl. A mám-li na diagonále v řešeném sloupci nenulu, ale ne jedničku, můžu si celý řádek vydělit tím nenulovým diagonálním číslem. S jedničkou na diagonále se mi může lépe počítat, ale třeba v uvedeném případě v druhém sloupci tomu tak nebylo. Navíc dělením si můžu nadělat v matici zlomky, to se nemusí vyplatit.

Anebo zahledám a mám třeba tohle.

pozdravy, krasny novy rok.

Poznamka:

Prakticky mozes robit rychlejsie ( koncentrovanejsie) a pouzit taky to zapis
1 3 -1 2 | 1
3 5 -11 4 | 9.       R2-3R1
2 9 5 6 | -2.         R3-2R1
-2 -2 12 -7 | -7    R4+2R1

Kde R1, R2,R3, R4 representuju riadky matice a zapisy na pravo operacie na riadkoch

Atd.

Ahoj ↑ Sergejevicz:,
No vsak prakticky zapis co som pripomenul ak je dobre vedeny umoznuje vidiet tak isto ako tvoja podrobna metoda riesitelnost ci neriesitelnost povodneho systemu.
( za podmienky, ze riesitel vie ich dobre interpretovat)
Literatura sa lahko najde na webe. ... ( napr Strang Linear algebra )

↑ Sergejevicz:,
Tie tvoje knihy vobec nepoznam, ale iste ide o dobre knihy.