Matematické Fórum

Anonymystik

Zkusím se s vámi podělit o jednu hezkou úlohu, na kterou jsem dnes (při řešení těžšího problému) narazil:
Nalezněte všechna $\varphi \in \langle 0, \pi\rangle$ taková, že $\varphi = 2 \sin \varphi - \varphi \cos \varphi$ .

Xellos · 30. 12. 2015 23:29

$\varphi(1+\cos\varphi)=2\sin\varphi$

$2\varphi\cos^2\frac{\varphi}{2}=4\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}$

$\frac{\varphi}{2}=\tan\frac{\varphi}{2}$

(alebo $\cos\frac{\varphi}{2}=0$ , teda $\varphi=\pi$ ). Okrem trivialneho riesenia $\varphi=0$ uz ziadne neexistuje - tangens rastie prilis rychlo (je konvexny) na intervale $[0,\pi/2)$ .

Anonymystik · 31. 12. 2015 12:41

↑ Xellos: Pěkné, stejné jako moje řešení. :-)

check_drummer · 01. 01. 2016 23:56

Ahoj, dokonce i WA nalezl úpravu na poloviční argument...

Anonymystik · 02. 01. 2016 13:05

↑ check_drummer: to zní, jako by to bylo triviální. Někdy nemám odhad na to, co je zajímavá úloha a co už ne... Každopádně tahle rovnice mi přišla zajímavá tím, že vypadá analyticky neřešitelně, ale přitom se vyřešit dá. Původně jsem řešil trochu jiný problém: najdi kruhovou úseč s maximálním obsahem, je-li fixována délka jejího oblouku. A vyšla mi právě rovnice výše.

check_drummer · 02. 01. 2016 23:12

↑ Anonymystik:
Ono ne vše co umí vyřešit stroj je triviální. :-) Pokud ten program má v sobě nějakou netriviální heuristiku - jako např. "zkus poloviční argument", tak se to může zdát jednoduché, ale třeba už se "třetinovým" argumentem by si nevěděl rady.

Matematické Fórum

#1 29. 12. 2015 23:26 — Editoval Anonymystik (29. 12. 2015 23:28)

Transcendentní rovnice

#2 30. 12. 2015 23:29

Re: Transcendentní rovnice

#3 31. 12. 2015 12:41

Re: Transcendentní rovnice

#4 01. 01. 2016 23:56

Re: Transcendentní rovnice

#5 02. 01. 2016 13:05

Re: Transcendentní rovnice

#6 02. 01. 2016 23:12

Re: Transcendentní rovnice

Zápatí