Matematické Fórum

Bopinko · 03. 01. 2016 16:12

Zdravím, dali by ste mi niekto stručný príklad ako sa rátaju nejaké lineárne transfomrácie a ich dimenzia ? dakujem.

Sergejevicz · 03. 01. 2016 17:08

Pokud jde o lineární transformace mezi konečnědimenzionálními vektorovými prostory, pak taková transformace je reprezentována maticí, která má ve sloupcích souřadnice obrazů bázových vektorů vzorového prostoru vzhledem k bázovým vektorům obrazového prostoru. Dimenze takové transformace je pak dimenze obrazu, což vychází jako hodnost té reprezentační matice.

Bopinko · 03. 01. 2016 17:53

↑ Sergejevicz:
a mohli by ste mi dat aj nejaký konrkétny príklad ? nech viem ako sa to počíta ? alebo ked je zobrazenie z $\mathbb{R}^{3}\Rightarrow \mathbb{R}^{2}$

a ukázat ako zistíme jadro dimenizu a tak ? lebo neviem si predstavit ako to rátat, stačí mi jedno cvičenie

Sergejevicz · 03. 01. 2016 19:27

Použiju značení se sloupcovými vektory, je to výhodné, tedy např.

$\bold{u} = \left( \begin{array}{c} u_1\\ u_2\\ u_3 \end{array} \right)$ .

Menší upozornění: zobrazení z množiny do množiny se značí s jednoduchou šipkou, takže $\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^2$ :-).

Co jsem kdy viděl, tak v případě zobrazení $f : \mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^2$ vypadá zadání obecně tak, že dostanu zápis tvaru

$f(\bold{u}) = f \left( \left( \begin{array}{c} u_1\\ u_2\\ u_3 \end{array} \right) \right) = \left( \begin{array}{c} k_{11}u_1 + k_{12}u_2 + k_{13}u_3\\ k_{21}u_1 + k_{22}u_2 + k_{23}u_3\\ \end{array} \right)$ ,
kde $k_ij$ jsou nějaká čísla, a k tomu báze prostorů $\mathbb{R}^3$ a $\mathbb{R}^2$ . Nejčastěji to jsou tzv. kanonické báze - jejich vektory mají nulu ve všech složkách kromě jedné, ve které mají jedničku. Tak si uveďme příklad s kanonickými bázemi. Tedy je

$B(\mathbb{R}^3)= \{ \boldsymbol{b_1}, \boldsymbol{b_2}, \boldsymbol{b_3} \} = \{ \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array} \right) , \left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array} \right) , \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array} \right) \}$

$B(\mathbb{R}^2)= \{ \boldsymbol{c_1}, \boldsymbol{c_2} \} = \{ \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ \end{array} \right) , \left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ \end{array} \right) \}$

Nejdřív je dobré ověřit, že f je opravdu lineární :-).

A teď jak jsem psal výše, sestavit matici f znamená zobrazit tím f vzorové bázové vektory a do j-tého sloupce té matice napsat souřadnice obrazu j-tého bázového vektoru vzorového prostoru vzhledem k bázi obrazového prostoru.

Jmeme se tedy zobrazovat. Dosazujeme do zadaného vzorce.

$f(\bold{b_1}) = \left( \begin{array}{c} k_{11}\cdot 1 + k_{12}\cdot 0 + k_{13}\cdot 0\\ k_{21}\cdot 1 + k_{22}\cdot 0 + k_{23}\cdot 0\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k_{11}\\ k_{21}\\ \end{array} \right)$

Teď musíme najít souřadnice vektoru
$\left( \begin{array}{c} k_{11}\\ k_{21}\\ \end{array} \right)$
vzhledem k bázi $B(\mathbb{R}^2)$ .
To znamená najít $p_1, p_2$ tak, aby $p_1\bold{c_1}+p_2\bold{c_2}=f(\bold{u})$ . To neznamená nic jiného než vyřešit soustavu
$\left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{array} \right| \left. \begin{array}{c} k_{11}\\ k_{21}\\ \end{array} \right)$ .

Už podruhé je tady vidět, jak výhodné jsou kanonické báze. Snadno se dosazují a právě teď vidímě, že souřadnice vzhledem ke kanonické bázi jsuo přímo složky vektoru, který chceme bází vyšetřit. Takže první sloupec matice lin. zob. f, označme ji třeba $\bold{M}$ , bude
$\left. \begin{array}{c} k_{11}\\ k_{21}\\ \end{array} \right.$ .

Máme tedy
$\bold{M}= \left( \begin{array}{ccc} k_{11} & \bullet & \bullet\\ k_{21} & \bullet & \bullet\\ \end{array} \right)$ ,
kde na místech znaků $\bullet$ budou další čísla, totiž souřadnice obrazů druhého a třetího vzorového bázového vektoru vzhledem k obrazové bázi. Prosím dopočítat samostatně.

Takhle s kanonickými bázemi je to jednoduché, ale když báze kanonické nejsou, stávají se jednotlivá hledání souřadnich obrazů samostatnými netriviálními úlohami na řešení soustav lineárních rovnic.

Dimenze obrzu je dimenze matice $\bold{M}$ , jak jsem psal. Na to je příslušná věta z lin. algebry.

Jádro je dle definice to, co se zobrazí na nulový vektor.

Platí - opět viz příslušnou větu z lin. algebry, že $f(\bold{u}) = \bold{M}\cdot\bold{u}$ , kde teď $\cdot$ značí maticové násobení.

Takže máme-li matici lin. transf.
$\bold{M}= \left( \begin{array}{ccc} m_{11} & m_{12} & m_{13}\\ m_{21} & m_{22} & m_{23}\\ \end{array} \right)$ , tak jádro je tvořeno takovými vektory $\bold{w}$ , že $f(\bold{x}) = \bold{M}\cdot\bold{x}=\bold{0}$ , kde $\bold{0}$ značí nulový vektor.

Tedy při hledání jádra řešíme homogenní soustavu lin. rc. s maticí $\bold{M}$ .
Zajímá-li nás jen dimenze jádra, tak na to máme opět větu z kapitoli o ř. sous. lin. rc., že totiž dimenze ř. homog. sous. lin. rc. je rovna počtu sloupců mínus hodnot matice.

Sergejevicz

Ještě připomenu, že pak jsou takové ty speciální případy, např. že zobrazení zobrazuje do téhož prostoru, z kterého zobrazuje, takže má čtvercovou matici. Když víme, že je regulární, automaticky je jádro nulový vektor, tedy dimenze jádra je nula, a dimenze obrazu je dimenze prostoru, na kterém se zobrazuje, tj. počet řádků/sloupců té regulární matice......

Ono je to tak, že aby zobrazení mezi konečnědimenzionálními vektorovými prostory bylo lineární, tak může v podstatě jen lineárně kombinovat složky vstupujícího vektoru, jak jsem se tak zamýšlel.

Dále, vstupující vektor je lineární kombinací bázových vektorů vzorového prostoru,
$\bold{u}=\sum\limits_{i=1}^n c_i\bold{b_i}$ , kde $n$ je dimenze vzorového prostoru.

Z linearity f pak plyne, že obraz je lineární kombinací obrazů bázových vektorů, a to lin. komb. se stejnými koeficienty, jaké měl vstupující vektor vzhledem k vzorové bázi,
$f(\bold{u})=f\left(\sum\limits_{i=1}^n c_i\bold{b_i}\right)=\sum\limits_{i=1}^n c_if(\bold{b_i})$ .

Takže je vidět, že stačí definovat jen lin. zob. bázových vektorů, o ostatní se postará lin. komb. A je vidět, že obraz se dá přesně vyjádřit jako maticové násobení matice se sloupci f(u_i) zprava násobené sloupcovým vektorem se složkami c_i, což je přesně to, co jsem psal ve spojitosti s hledáním jádra. Obraz není nic jiného než jistá lin. komb. sloupců matice lin. zob..

Vlastně je důležité si uvědomit, že když někde máme vektor (a, b, c), tak ta a, b a c, to jsou vlastně seřazené jeho souřadnice vzhledem ke kanonecké bázi.

Lineární zobrazení můžou být ale i mezi nekonečnědimenzionálními prostory, např. mezi jistými prostory funkcí. Taková zobrazení už nemusejí být reprezentovatelná maticí.

Matematické Fórum

#1 03. 01. 2016 16:12

Lin. transformácia

#2 03. 01. 2016 17:08

Re: Lin. transformácia

#3 03. 01. 2016 17:53

Re: Lin. transformácia

#4 03. 01. 2016 19:27

Re: Lin. transformácia

#5 03. 01. 2016 19:59 — Editoval Sergejevicz (03. 01. 2016 20:01)

Re: Lin. transformácia

Zápatí