Matematické Fórum

Oldulka · 03. 01. 2016 19:45

Prosím o pomoc u tohoto příkladu:

Udejte příklad afinních podporostorů vhodného eukleidovského prostoru, které jsou mimoběžné a mají vzdálenost 15.

Mockrát děkuji.

Rumburak

Ahoj.

Tak třeba v eukleidovském prostoru dimense 3 (opatřeném kartéskou soustavou souřadnic Pxyz)
lze vzít v první etapě za přímku $p$ osu x a za přímku $q$ osu y, což ale jsou různoběžky (procházející
počátkem $P$ soustavy souřadnic) . Když přímku $q$ posuneme ve směru osy z, dostaneme přímku $r$
již mimoběžnou s přímkou $p$ . Zbývá polohu přímky $r$ doladit tak, aby vzdálenost přímek $p, r$ byla 15.

Tolik k myšlence. Formální stránku teorie afinních prostorů ovšem neovládám.

Nebo obecněji:
Vezměme v trojrozměrném prostoru dvě rovnoběžné roviny mající vzdálenost 15.
V první z těch rovin zvolíme přímku $p$ a ve druhé rovině pak nějakou přímku $r$ tak, aby NEbyla
rovnoběžná s $p$ .

Sergejevicz

Rumburak napsal(a):
Ahoj.
...kartéskou soustavou souřadnic

kartéZSkou :-)

Rumburak · 05. 01. 2016 10:06

↑ Sergejevicz:

Ahoj.

Nejraději bych psal "Carteskou", neboť název je odvozen od vlastního jména Descartes (= des Cartes).
Ale to je jen můj osobní postoj - teoretikové českého jazyka mohou mít jiný.

Oldulka · 05. 01. 2016 21:47

↑ Rumburak:děkuji, spíše bych potřebovala poradit právě aby to byly mimoběžky a zároven měly vzdálenost 15.. neumím vymyslet příklad, kde by byly splněny obě podmínky

Rumburak · 06. 01. 2016 09:48

↑ Oldulka:

A můj příspěvek ↑ Rumburak: nepomohl ?

Oldulka · 06. 01. 2016 09:54

↑ Rumburak: Nene, bohužel vůbec :( Z toho jsem byla zmatená...

Rumburak · 06. 01. 2016 09:57

↑ Oldulka:
Uvedl jsem dva způsoby. Co tam bylo nesrozumitelné ?

Oldulka · 06. 01. 2016 10:32

↑ Rumburak: Vy jste mě to popsal slovně hezky, já chápu ten princip, tu teorii... vím, o co tam jde..
Líbila se mi ta druhá varianta s těmi rovnoběžnými rovinami, v nichž si vyberu dvě přímky, které nebudou rovnoběžné, ale bohužel nevím, jak na to početně..

Vypočítám akorát dvě rovnoběžné roviny:
Dvě roviny, které jsou rovnoběžné a mají vzdálenost 15, např: 10x - 5y + 10z +1 = 0 a 10x - 5y + 10z - 9 = 0

Nevím si rady s těmi přímkami, které leží v rovinách a jsou mimoběžné.

Můžete mi prosím poradit, jak udělám přímku, která leží v rovině?

Děkuji.

Rumburak · 06. 01. 2016 11:06

↑ Oldulka:

Ty Vaše dvě roviny mají polohu zbytečně obecnou, takže situace je pak nepřehledná.

Zvolit můžeme v R3 jednu rovinu o rovnici z = 0 a druhou o rovnici z = 15. Jsou spolu rovnoběžné
a jejich vzdálenost je 15.

Nyní určíme přímku p soustavou rovnic y = x , z = 0 a přímku q soustavou rovnic y = -x , z = 15.

První přímka leží v rovině z = 0, druhá v rovině z = 15 a nejde o rovnoběžky ani o různoběžky (proč ?),
takže jde o mimoběžky. Vzdálenost dvou mimoběžek je rovna vzdálenosti dvou rovnoběžných rovin,
v nichž po řadě leží.

Oldulka · 06. 01. 2016 11:33

↑ Rumburak: Děkuji Vám mockrát, ale toto je na mne moc složité :(
Soustředím se vždy na vektory při výpočtu vzdálenosti. Když máme rovnici z =0 a z = 15, tak obecné rovnice jsou z = 0 a z - 15 = 0, z toho nevidím, že by byla vzdálenost 15.

Dále vůbec nerozumím těm přímkám.. Chápu, že u první přímky je x = y, to je logické.. ale u druhé přímky netuším, proč je tam y = -x.

misaH · 06. 01. 2016 12:59 — Editoval misaH (06. 01. 2016 13:00)

↑ Oldulka:

rovina z=0 znamená, že v nej ležia všetky body s nulovou súradnicu z.

Je to rovina xy.

Rovina z = 15 je rovina rovnobežné s danou, iba o 15 jednotiek posunutá. Obsahuje totiž všetky body, ktorých súradnica z je 15.

Analogická situácia je u priamok:

Napríklad x=0 a x=8. Načrtni si ich a pozri ich vzdialenosť. Roviny sú len rozšírenie do 3D.

Rumburak

↑ Oldulka:

Tak to postupně probereme.

Rovnice $z = 0$ určuje rovinu $\varrho$ totožnou se souřadnicovou rovinou Pxy, která je kolmá k souřadnicové ose $z$
a protíná ji (kolmo) v počátku $P=[0, 0, 0]$ soustavy souřadnic. Když tuto rovinu posuneme ve směru k ní
kolmém, tedy ve směru osy $z$ tak, aby procházela bodem $Q=[0, 0, 15]$ , dostaneme rovinu $\sigma$ o rovnici
$z = 15$ rovnoběžnou s $\varrho$ . Úsečka $PQ$ ležící v ose $z$ je kolmou spojnicí obou těchto spolu rovnoběžných
rovin, jejichž vzdálenost je tudíž rovna délce úsečky $PQ$ , což je 15.

Jestliže dále zvolíme v rovině $\varrho$ přímku $p$ a v rovině $\sigma$ přímku $r$ , pak tyto přímky nebudou mít žádný společný
bod (protože ten by pak musel patřit zároveň do obou uvažovaných rovin, což ale není možné, neboť tyto roviny
jsou rovnoběžné a navzájem různé, takže žádný společný bod nemají), půjde tedy buďto o mimoběžky nebo
o navzájem různé rovnoběžky podle toho, zda jejich směrové vektory budou spolu různoběžné nebo rovnoběžné.
Nás bude zajímat první případ. Hledejme tedy dva nenulové vektory $\vec{u}, \vec{v}$ , které budou spolu různoběžné,
avšak každý z nich rovnoběžný s rovinou $\varrho$ resp. $\sigma$ , tedy kolmý k ose $z$ neboli k jejímu směrovému vektoru,
jímž je vektor $(0, 0, 1)$ (a každý jeho nenulový násobek, což nás ale v tuto chvíli nezajímá).

Vektor $(a, b, c)$ kolmý k $(0, 0, 1)$ musí splňovat podmínku

$(a, b, c)\cdot (0, 0, 1) = 0$

(nalevo je skalární součin) charakterisující vzájemnou kolmost dvou vektorů . Rozepsáním skalárního součinu
dostaneme

$a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 1 = 0$ ,

odtud $c = 0$ . Čísla $a, b$ mohou být obecně libovolná, avšak má-li vektor $(a, b, 0)$ být směrovým vektorem
některé přímky, jak požadujeme, musí být aspoň jedno z nich nenulové.
Přímka se směrovým vektorem $(a, b, 0)$ a procházející bodem $[0, 0, h]$ (na ose $z$ ) bude mÍt parametrické
rovnice $x = 0 + at , y = 0 + bt, z = h$ , vyloučením parametru $t$ z této soustavy obdržíme

$bx - ay = 0 , z = h$

což je pouze jiné vyjádření téže přímky. Takové přímky ovšem hledáme dvě. V rovině $\varrho$ má ležet přímka $p$
určená rovnicemi

(1) $b_1x - a_1y = 0 , z = 0$ ,

v rovině $\sigma$ přímka $r$ určená rovnicemi

(2) $b_2x - a_2y = 0 , z = 15$ .

Při tom dvourozměrné vektory $(b_1, a_1) , (b_2, a_2)$ musí být nenulové, aby útvary popsané soustavami
(1), (2) byly přímkami, navíc i lineárně nezávislé (což v tomto případě znamená, že žádný z nich nesmí být
násobkem druhého), aby byla zajištěna mimoběžnost . Takových dvojic přímek $p, r$ je samozřejmě nekonečně
mnoho, jak plyne i z tohoto rozboru, a můžerme si vybírat.