Matematické Fórum

Xainna · 02. 01. 2016 21:54

Nemohl by mi prosím někdo pomoci s tímto příkladem?

Na pružině tuhosti k je zavěšeno závaží váhy G. Závaží je podepřeno tak, že pružina není deformována. Jaký pohyb bude vykonávat závaží po odstranění podpěry (bez nárazu na závaží)? Hmotu pružiny a odpor prostředí zanedbejte.

- pružinu po odendání podpěry uvede do pohybu gravitační síla, kde $G=m*g$
- pružina samozřejmě bude vykonávat harmonický pohyb, ale jak bychom spočítali třeba okamžitou výchylku?

FliegenderZirkus · 03. 01. 2016 12:53

Nestačí jen řešit rovnici $m\ddot{x}+kx=mg$ s počátečními podmínkami $x(0)=0, \dot{x}(0)=0$ ?

Xainna · 03. 01. 2016 19:47

já jsem to tak zkoušela, ale mělo by vyjít $x=(G/k)*(1-\cos \sqrt{\frac{k*g}{G}*t)}$ a k tomuto výrazu jsem se nedopracovala ...

johan99 · 03. 01. 2016 20:09

Není problém v tom, že kyvadlo nepouštíme z pozice $x=0$ a je nutné zvolit jiné počáteční podmínky?

Jj · 03. 01. 2016 20:24

↑ Xainna:

Dobrý den.

Řekl bych, že podle rady kolegy ↑ FliegenderZirkus: by to vyjít mělo:

Pro rovnici $\ddot{x}+\frac{kg}{G}x=g, \quad x(0)=0, \ \dot{x}=0$ dává WA řešení Odkaz, což koresponduje s výrazem uvedeným tady ↑ Xainna: .

LukasM · 03. 01. 2016 21:56 — Editoval LukasM (03. 01. 2016 21:57)

↑ johan99:
To problém není, klidně můžeme volit x(0)=0. Prostě tím zvolíme souřadnou soustavu tak, že bod vypuštění je nula. Šlo by to měřit i odjinud. Pro jinou volbu souřadnic bude samozřejmě i jinak vypadat výsledek. To je ale v pořádku.

Ono se ale řešení rovnice dá celkem vyhnout. Kdybych těleso neupustil ale pomalu spouštěl, pružina by zaujala novou rovnovážnou polohu, a to tam, kde by se vyrovnala síla pružiny a tíhová síla, tedy $mg=k\Delta x\Rightarrow \Delta x=\frac{mg}{k}$ . Když zkusím pak za pružinu tahat, bude se chovat "normálně", síla bude pořád úměrná vychýlení. Takže když těleso popsaným způsobem upustíme, tíhová síla se projeví jen tím, že se posune rovnovážná poloha, frekvenci kmitů nezmění. Jaká bude amplituda? Ze ZZE plyne, že bod obratu bude právě tam, odkud jsem těleso vypustil. Ten prvotní sestup se nijak neliší od následných kmitů. Takže pokud zvolíme soustavu souřadnou tak, jako to udělal FliegenderCirkus (x=0 v bodě vypuštění, x roste směrem dolů), tak $x(t)=\frac{mg}{k}-\frac{mg}{k}\cos{\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)}$ . První zlomek je posunutá rovnovážná poloha, druhý amplituda kmitů.

Jinak kdo chce řešit tu rovnici $m\ddot{x}+kx=mg$ , je hezká úprava na $\ddot{x}+\frac{k}{m}\left(x-\frac{mg}{k}\right)=0$ . Je na ní hezky vidět to, co jsem před chvílí napsal slovy.

Xainna · 04. 01. 2016 00:03

Díky moc, já jsem se jen nemohla dostat k tomu správnému vyjádření, pořád mi to nevycházelo :)

Matematické Fórum

#1 02. 01. 2016 21:54

Mechanické kmitání - závaží na pružině

#2 03. 01. 2016 11:34 — Editoval LukasM (03. 01. 2016 11:35) Příspěvek uživatele LukasM byl skryt uživatelem LukasM. Důvod: Zavádějící až nepravdivé, radši skrývám

#3 03. 01. 2016 12:53

Re: Mechanické kmitání - závaží na pružině

#4 03. 01. 2016 19:47

Re: Mechanické kmitání - závaží na pružině

#5 03. 01. 2016 20:09

Re: Mechanické kmitání - závaží na pružině

#6 03. 01. 2016 20:24

Re: Mechanické kmitání - závaží na pružině

#7 03. 01. 2016 21:56 — Editoval LukasM (03. 01. 2016 21:57)

Re: Mechanické kmitání - závaží na pružině

#8 04. 01. 2016 00:03

Re: Mechanické kmitání - závaží na pružině

Zápatí