Matematické Fórum

Vanitas · 05. 01. 2016 23:38

Dobrý den,
mám dokázat, že platí-li
$f(x+T)=kf(x); k,T>0; x\in \mathbb{R}$ , pak
$f(x)=a^{x}\varphi (x)$ , kde a je konstanta a $\varphi (x)$ je periodická funkce s periodou T.
Pravděpodobně nepůjde o nic těžkého, ale zaboha nemůžu začít.

Bati · 06. 01. 2016 00:54

Ahoj ↑ Vanitas:.
Předpokládám, že je zřejmé, že funkce s vlastností $f(x+T)=kf(x); k,T>0; x\in \mathbb{R}$ existují (na [0,T] definuji f jak chci a jinde dodefinuji pomocí vzorce). Taky je docela jasný, že pokud existuje rozklad $f(x)=a^{x}\varphi (x)$ , pak nutně $a=k^{\frac1T}$ . No a teď zbývá ověřit, že $\varphi(x):=k^{-\frac{x}{T}}f(x)$ je periodická.

Vanitas · 06. 01. 2016 01:26

Děkuji, chvilku mi trvalo, proč $a=k^{\frac{1}{T}}$ , ale stačí jenom porovnat f(x) a f(x+T) a je to.
Periodicita $\varphi (x)$ už je pak brnkačka.
Díky moc.

Matematické Fórum

#1 05. 01. 2016 23:38

Důkaz vlastnosti funkce

#2 06. 01. 2016 00:54

Re: Důkaz vlastnosti funkce

#3 06. 01. 2016 01:26

Re: Důkaz vlastnosti funkce

Zápatí