Matematické Fórum

pakomako12 · 05. 01. 2016 22:04

Ahoj, potřebuji zjistit, zda-li složením dvou surjektivních funkcí lze získat funkci nesurjektivní.
Šel jsem na to metodou, že jsem si řekl, že ne, a že najdu nějaký příklad, který tomuto tvrzení nevyhovuje. Nicméně po značném počtu pokusů jsem došel k názoru, že tomu tak asi bude.

Mám takovou vizi, že když mám dvě funkce f a g, které nemají omezený obor hodnot (jsou surjektivní), tak složením těchto dvou funkcí nelze omezit obor hodnot funkce h=f(g(x)).

Přijde mi to již jako uchopitelná myšlenka, ale nenapadá mě, jak to nějak formálně matematicky dokázat.

Děkuji

vanok · 05. 01. 2016 22:33

Ahoj,
Ako je definovana surjectivna funkcia?

pakomako12 · 05. 01. 2016 23:45

no...
že každý obraz má alespoň jeden vzor

vanok · 06. 01. 2016 00:43

Pre $g$ to znamena :
Ak $g :A \to B$ potom, $g(A)=B$ .
A co to znamena pre $f$ ?

pakomako12

$g: A \overrightarrow{} B$
$f: B \overrightarrow{} C$
a $fog = f(g(x))$ - to je obecné, takže v našem případě se jedná o $fog = f(g(A))$

vanok · 06. 01. 2016 14:51 — Editoval vanok (06. 01. 2016 14:52)

Pozor
Tieto zapisy su nepresne $fog = f(g(A))$ $fog = f(g(x))$
No vsak ak $f: B \overrightarrow{} C$ je surjektivna mas $fB)=C$
A potom $fog :A\to C$ A tiez $fog(A) = f(g(A))=f(B)=C$
Takze $fog$ je surjektivna .

Poznamka. Pocvic sa v pouzivanej symbolike, mas dost vela nepresnosti v tvojich zapisoch.

Pavel · 06. 01. 2016 17:39

↑ pakomako12:

Vše záleží na tom, jak máš definovanou složenou funkci $f\circ g$ . Jsou dva přístupy: buď se požaduje $\mathcal{R}(g)=\mathcal{D}(f)$ , nebo $\mathcal{R}(g)\subseteq\mathcal{D}(f)$ . Ve druhém případě se pak surjektivita na složenou funkci nepřenáší.

Je-li totiž funkce $f:\mathbb R\longrightarrow\langle 0,+\infty)$ daná předpisem $f(x)=x^2$ a funkce $g:\mathbb R\longrightarrow \langle -1,1\rangle$ daná předpisem $g(x)=\sin x$ , pak obě funkce jsou zřejmě surjektivní. Avšak funkce $f\circ g:\mathbb R\longrightarrow\langle 0,+\infty)$ není surjektivní.

vanok · 06. 01. 2016 18:30 — Editoval vanok (06. 01. 2016 18:41)

Ahoj ↑ Pavel:,
Najprv vsetko najlepsie do Noveho roku.
Co sa tyka tvojej poznamky, tak je jasne
ze prave preto som dal pytatelovy tie moje otazky (a vdaka jeho odpovedi kompozicia, tak ako ju définujes nema zmysel). No vsak, mas pravdu, ze to nebolo formalne napisane.( a aj preto niektori autory rozlisuju pojmy funkcie a aplikacie... v fr, enl.... Je to tak aj v cz, sk....)
Na dokonalu odpoved treba vediet presne definiciu daneho pojmu.
A tiez treba vediet dobre ovladat pouzitu symboliku... a nepisat vyrazy co nemaju matematicky zmysel.

pakomako12

Jako definici složené funkce beru:
Máme funkci $f: y = f(x)$ s definičním oborem $D(f)$ a funkci $g: z = g(y)$ s oborem hodnot $H(g)$ . Jestliže je $H(g) \subseteq D(f)$ pak funkci nazveme složenou funkcí (někdy píšeme též $h = f \circ g$ )

pakomako12 · 07. 01. 2016 13:07

↑ Pavel:

Podle wikipedie reálná funkce $f(x)=x^2$ není na (surjektivní), neboť pro $y < 0$ neexistuje $x \in \mathbb{R}$ , pro které by $y = f(x) = x^2$ .

Pavel · 07. 01. 2016 14:29 — Editoval Pavel (07. 01. 2016 14:34)

↑ pakomako12:

Ne všechno, co je na wikipedii, je správně. Troufám si říct, že tento závěr je bez uvedení množiny, z níž, resp. do níž druhá mocnina zobrazuje, chybný. Když už argumentovat, tak nějakou odbornou literaturou, ne wikipedií.

Druhá mocnina, kterou jsem zmínil, je zobrazení z reálných čísel do nezáporných reálných čísel a jako taková je opravdu surjektivní. Kdybch jí definoval jako zobrazení z reálných čísel do reálných čísel, pak to bylo samozřejmě v shodě s tím, co zmiňuješ s odkazem na wikipedii.

Jen taková odbočka - anglická verze wikipedie zde popisuje surjektivitu druhé mocniny jinak.

↑ vanok:

Vše nejlepší do nového roku i Tobě. Je potřeba být obezřetný hlavně v pojmech, které různí autoři definují různě. Jinak pak z nich mohou být vyvozeny rozporuplné závěry.

pakomako12 · 07. 01. 2016 15:08

↑ Pavel:

Ok usuzuji, že Wikipedie nic neví, protože Zobrazení $f : X \overrightarrow{} Y$ je na (surjektivní), pokud každé $y \in Y$ má alespoň jeden vzor při zobrazení $f$ .

A omezeným $H(f)$ se zřejmě množina $Y$ neomezí, ale právě že se zadefinuje.
Tak se omlouvám, Wikipedie mě svedla na scestí.

Ok, tak pokud říkáš, že se surjektivita nepřenáší v tom případě, když je $H(g) \subseteq D(f)$ , (hádám, že tedy bereš, že $f : y = f(x)$ a $g: z = g(y)$ pro přehlednost už to tak nechejme, byť to tedy v zadání nahoře bylo naopak ( $f: z = g(y)$ a $g: y = f(x)$ )) tak teď tedy mi nějak zbývá toto tvrzení dokázat, teď bych tedy potřeboval poradit, jak na to. :)

Pavel · 07. 01. 2016 22:43

↑ pakomako12:

Tak striktně bych zase wikipedii neodsuzoval. Jen říkám, že je třeba brát ji s rezervou.

Pokud jde o značení, pak beru

$f : z = f(y)$ , $g: y = g(x)$ . Je-li $H(g) \subseteq D(f)$ , pak $f\circ g : z = f(g(x))$ , takže je to ve shodě se zadáním nahoře.

Konkrétně volím:

$f&:\mathbb R\longrightarrow\langle 0,+\infty)\\ f&:z=y^2$

$g&:\mathbb R\longrightarrow \langle -1,1\rangle\\ g&:y=\sin x$ .

Pak

$f\circ g&:\mathbb R\longrightarrow\langle 0,+\infty)\\ f\circ g&:z=\sin^2x$

Je-li např. $z=2$ , pak nebude existovat $x\in\mathbb R$ takové, aby $2=\sin^2x$ .

vanok · 08. 01. 2016 02:06 — Editoval vanok (08. 01. 2016 02:07)

↑ Pavel:
Prave preto som aj pripomenul pojem aplikacie, ktory umoznuje sa jednoduchsie vyjadrovat, co sa tyka injekcii.surjekcii a bijekcii.
Pozri podrobnosti napr. na fr. versii vikipedie.

Pavel · 08. 01. 2016 11:22

↑ vanok:

Přečetl jsem si francouzskou mutaci wikipedie. Pokud to dobře chápu, tak pojem application odpovídá českému pojmu zobrazení jako speciálnímu případu binární relace mezi obecnými množinami splňující jisté podmínky. Jen pro úplnost - funkce jako zobrazení mezi číselnými množinami pak odpovídá pojmu fonction numérique. Někdy se oba pojmy ztotožňují, někdy se mezi nimi dělá rozdíl.

vanok · 08. 01. 2016 14:47 — Editoval vanok (08. 01. 2016 14:48)

↑ Pavel:
Presnejsie, si mohol nast :
Pojem "application" znamena, ako som to vyssie naznacil
l'application définie par un ensemble de départ E, un ensemble d'arrivée F et une relation de E vers F dans laquelle chaque élément de E possède une image et une seule (une application est donc une fonction dont le domaine de définition est égal à la source).

Cize, v tvojej terminologii, ide o funkcie ktorych obor definicie je cela mnozina pranen. ( a to plati vseobecne a nie len v pripade numerickich funkci). Bijekcia je pochopitelne specialny pripad injektivnej a surjektivnej aplikacie zaroven.

Rumburak

↑ pakomako12:

Ahoj. (Zdtravím i ostatní účatníky diskuse.)

Šel bych na to přes rovnice. Mějme surjectivní funkce $f: A \to B, g: B \to C$ a složenou funkci $h := g\circ f$ .
Dokázat, že funkce $h : A \to C$ je surjectivní, znamená ukázat, že k libovolnému $c \in C$ existuje $a \in A$
takové, že $h(a) = c$ .

Matematické Fórum

#1 05. 01. 2016 22:04

Surjektivní zobrazení

#2 05. 01. 2016 22:33

Re: Surjektivní zobrazení

#3 05. 01. 2016 23:45

Re: Surjektivní zobrazení

#4 05. 01. 2016 23:50 Příspěvek uživatele pakomako12 byl skryt uživatelem pakomako12. Důvod: rozmyslel jsem si to

#5 06. 01. 2016 00:43

Re: Surjektivní zobrazení

#6 06. 01. 2016 10:44 — Editoval pakomako12 (06. 01. 2016 10:53)

Re: Surjektivní zobrazení

#7 06. 01. 2016 14:51 — Editoval vanok (06. 01. 2016 14:52)

Re: Surjektivní zobrazení

#8 06. 01. 2016 17:39

Re: Surjektivní zobrazení

#9 06. 01. 2016 18:30 — Editoval vanok (06. 01. 2016 18:41)

Re: Surjektivní zobrazení

#10 07. 01. 2016 13:00 — Editoval pakomako12 (07. 01. 2016 13:45)

Re: Surjektivní zobrazení

#11 07. 01. 2016 13:07

Re: Surjektivní zobrazení

#12 07. 01. 2016 13:42 — Editoval pakomako12 (07. 01. 2016 13:55) Příspěvek uživatele pakomako12 byl skryt uživatelem pakomako12.

#13 07. 01. 2016 14:29 — Editoval Pavel (07. 01. 2016 14:34)

Re: Surjektivní zobrazení

#14 07. 01. 2016 15:08

Re: Surjektivní zobrazení

#15 07. 01. 2016 22:43

Re: Surjektivní zobrazení

#16 08. 01. 2016 02:06 — Editoval vanok (08. 01. 2016 02:07)

Re: Surjektivní zobrazení

#17 08. 01. 2016 11:22

Re: Surjektivní zobrazení

#18 08. 01. 2016 14:47 — Editoval vanok (08. 01. 2016 14:48)

Re: Surjektivní zobrazení

#19 08. 01. 2016 14:58 — Editoval Rumburak (08. 01. 2016 15:01)

Re: Surjektivní zobrazení

Zápatí