Matematické Fórum

zdeneksedlar1 · 06. 01. 2016 10:54

Ahoj, mohl by mi někdo pomoct prosím s tímto příkladem. Na cvikách jsme to vůbec nedělali a u zkoušky to po nás chtěji.. Vůbec nevím co s tím. Předem díky za pomoc :)
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-01/74035_mat.JPG

kajzlik · 06. 01. 2016 13:17

Ahoj,

využij známého rozvoje $\ln(1+y)= \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{y^n}{n}$
a uvažuj $y=-\frac{x^2}{2}$

zdeneksedlar1 · 06. 01. 2016 16:48

↑ kajzlik: Díky za pomoc, ale stejně vůbec nevím co mám dělat.. :D

Jj · 06. 01. 2016 17:41

↑ zdeneksedlar1:

Dobrý den.

Řekl bych postupovat podle rady kolegy ↑ kajzlik::

- využít známý rozvoj funkce ln(1+x) v se středem v bodě 0 k jednoduššímu určení rozvoje zadané funkce f(x)
(přímý rozvoj zadané funkce by byl daleko pracnější):

$\ln(1+y)= y - \frac{y^2}{2}+ \frac{y^3}{3} - \frac{y^4}{4} + \cdots$

V této řadě provést substituci $y \rightarrow -\frac{x^2}{2}$

$\Rightarrow \ln\left(1 -\frac{x^2}{2}\right)= \left(-\frac{x^2}{2}\right) - \frac{\left(-\frac{x^2}{2}\right)^2}{2}+ \frac{\left(-\frac{x^2}{2}\right)^3}{3} - \frac{\left(-\frac{x^2}{2}\right)^4}{4} + \cdots$
Tuto řadu po úpravě vydělit (člen po členu) výrazem $x^2$

a dostanete Taylorův rozvoj funkce $f(x) = \frac{1}{x^2}\ln\left(1 -\frac{x^2}{2}\right)=\cdots$

čímž budete mít splněný bod a) zadání, bez něhož byste se dále nepohl.

zdeneksedlar1 · 07. 01. 2016 12:42

↑ Jj: A jooo.. Super.. Díky za vysvětlení. Mohl bych ještě poprosit o radu jak zjisit ten obor konvergence ?

Matematické Fórum

#1 06. 01. 2016 10:54

Tylorova řada

#2 06. 01. 2016 13:17

Re: Tylorova řada

#3 06. 01. 2016 16:48

Re: Tylorova řada

#4 06. 01. 2016 17:41

Re: Tylorova řada

#5 07. 01. 2016 12:42

Re: Tylorova řada

Zápatí