Matematické Fórum

Tom711 · 06. 01. 2016 12:30

Dobrý deň

Objavil som túto limitu
$\lim_{x\to\infty}(x^{2}+1)^{\frac{1}{x}}$

Potreboval by som pomôcť s tou prvou úvahou čo s tým.

Ďakujem

Jj · 06. 01. 2016 13:28

↑ Tom711:

Dbrý den.

Řekl bych, že

$\lim_{x\to\infty}(x^{2}+1)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to\infty} e^{{\frac{1}{x}}\cdot\ln (x^2+1)}$

a spočítat limitu výrazu v exponentu.

Xellos · 06. 01. 2016 13:28 — Editoval Xellos (06. 01. 2016 13:30)

Odhad $x^2 < x^2+1 < 2x^2$ - inak povedane, jednotka je zanedbatelna oproti nekonecnu na druhu. Limitu $x^{2/x}=e^{2\ln{x}/x}$ aj limitu $(2x)^{1/x}=2^{1/x}e^{2\ln{x}/x}$ by nemal byt problem spocitat (ake su limity exponentov?).

Tom711 · 06. 01. 2016 14:28

Takže
$\lim_{x\to\infty}\frac{ln(x^{2}+1)}{x}$

Aplikujem L Hospitalovo pravidlo?
Derivácia čitateľa, to je vlastne zložená funkcia a teda
$\frac{1}{x^{2}+1}2x$

Menovateľ po derivovaní (toto sa mi páčilo)
$1$

Teda:
$\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{x^{2}+1}=0$

A konečne naspäť:
$\mathrm{e}^{0}=1$

Tak ak by to bolo takto a poćítal som dobre tak týmto krokom som pochopil.
Len tú úpravu na ten tvar e na niečo, tomu nerozumiem.

Jj · 06. 01. 2016 15:32 — Editoval Jj (06. 01. 2016 15:34)

↑ Tom711:

Podle mě je výpočet správně.

Upravený tvar výrazu vyplývá ze základních vlastností logaritmu (v našem případě přirozený logatitmus, jehož základ je Eulerovo číslo e), podobně např.:

$e^{\ln x^3} = x^3\quad \Leftrightarrow \quad x^3=e^{\ln x^3}\quad \Rightarrow \quad x^3=e^{3\cdot \ln x}$

Ale líbí se mi rada kolegy ↑ Xellos: - řekl bych, že je použitelná obecněji.

Tom711 · 06. 01. 2016 17:28

Ahá takto sme sa k tomu dostali, no jasné už tomu rozumiem.

Ďakujem.

Matematické Fórum

#1 06. 01. 2016 12:30

Limita

#2 06. 01. 2016 13:28

Re: Limita

#3 06. 01. 2016 13:28 — Editoval Xellos (06. 01. 2016 13:30)

Re: Limita

#4 06. 01. 2016 14:28

Re: Limita

#5 06. 01. 2016 15:32 — Editoval Jj (06. 01. 2016 15:34)

Re: Limita

#6 06. 01. 2016 17:28

Re: Limita

Zápatí