Matematické Fórum

Prosím o kontrolu a rady v následujících třech otázkách:

1. At' má čtvercová soustava lineárních rovnic nad  alespoň jedno řešení. Potom nutně platí:
(a) matice A má inversi,
(b) soustava má právě jedno řešení (kde E je jednotková matice příslušných rozměrů),
(c) vektor b je lineární kombinací sloupců matice A,
(d) matice A má nulový determinant.

Podle mě je správně c). K inversi a determinantu se nemůžeme vyjádřit, protože nevíme počet nezávislých řádků a přičtení jednotkové matice si myslím, že nemůže zaručit právě jedno řešení, právě naopak. Pokud má ale daná rovnice aspoň 1 řešení, tak vektor b by měl být vždy kombinací sloupců matice A. Je to prosím správně?

2. At' je uspořádaná báze lineárního prostoru a  at' je matice obsahující jako sloupce vektory z (zapsané jako souřadnice vzhledem ke kanonické bázi . Potom nutně platí:
(a) rozdíl je nulová matice,
(b) matice M má nenulový determinant,
(c) matice M je positivně definitní,
(d) sloupce matice nemohou tvořit bázi.

Podle mě je správně b), protože by báze měla mít tolik vektorů, jako je dimense prostoru báze B a tudíž matice M, jestli to chápu dobře. Ostatní může a nemusí být pravda, je to tak prosím?

3. At' ,   a  jsou konečně dimensionální lineární prostory nad tělesem , ať → je isomorismus  a → je epimorismus. Potom platí:
(a) ,
(b) pro libovolný vektor existuje právě jeden vektor takový, že ,
(c) → je epimorismus,
(d) zobrazení je monomorismus.

Tady dost tápu. D) není nejspíš správná odpověď, protože dané zobrazení je buď isomorfismus, a pak platí, že je epimorfismus i monomorfismus, ale o tom se u zobrazení g nemluví. Pokud je pouze epimorfismus, tak nemusí být monomorfismus. A) asi nemusí vždy platit. U zbylých dvou možnostech nevím. C) by však mělo platit vždy, ne? Netušíte prosím?

Předem děkuji moc za odpovědi.