Matematické Fórum

holcina.16 · 07. 01. 2016 18:35

Ahoj,

mám zadání:
Určete extrémy funkce $f(x,y,z)=xy+yz$ s podmínkami $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ a $x+y+z=1$

Zkoušela jsem to Lagrangem i Jakobiánem, ale nejde mi ani jedno. Nemohl by mi někdo poradit?

Děkuji.

jelena · 08. 01. 2016 00:34

Zdravím,

extrém by měl vycházet na řezu sféry rovinou (tedy na kružnici v rovině $x+y+z=1$ , dokonce bys z toho již mohla mít i některé body k použití. Pokud označím Lagrange multiplikátory $a=\lambda$ , $b=\mu$ , vyšla Tobě taková soustava? Potom, co jsem trošku zkoušela, tak by mělo být řešitelné (pomůže, když sečteš první 3 rovnice, nahradit součty ( $x+y+z=1$ ), jinak odečíst (1) a (3), to už dává rovnou řešení, které dál použiješ atd.).

Zatím překontroluj, zda se shodujeme v úvodu, potom se podíváme na řešení, pokud ještě bude aktuální.

holcina.16 · 10. 01. 2016 10:36

↑ jelena::

Ano, soustava mi vyšla stejná s použítím Lagrange.

jelena · 10. 01. 2016 15:15

↑ holcina.16:

děkuji, potom bych postupovala:
(1) $y+2ax+b=0$
(2) $x+z+2ay+b=0$
(3) $y+2az+b=0$
(4) $x+y+z=1$
(5) $x^2+y^2+z^2=1$
--------------------
odečtu (1)-(3), dostanu $2a(x-z)=0$ , odsud $x=z$ (*) (nulové $a$ je také řešení soustavy, ale pro LM nepoužijeme, dořešit však můžeš), dosadím do (4), odsud $y=1-2x$ (**) a potom (*) a (**) dosadím do (5). Toto je již k řešení s jednou proměnnou.

Když sečtu (1)+(2) dostanu $x+y+z+2a(x+y)+2b=0$ , nahradím začátek za 1: $1+2a(x+y)+2b=0$ , obdobně pro (2) a (3). Zkontroluj, prosím, zda jsem se někde nepřeklepla. Vychází všechno? Děkuji.