Matematické Fórum

mishalinek · 08. 01. 2016 00:31

Ahoj, omlouvám se, ale celý den se tu snažím vyřešit jeden příklad a jelikož jsem matematikou nepolibena, vůbec se mi nedaří :-(

Najděte D (f) a nacrtnete vrstevnice: f (x,y)= ln (x*y-1)

Moc děkuju, pokud by mi s tím někdo pomohl.

Sergejevicz

Řešíš funkci dvou proměnných a matematikou jsi nepolíbena? To je divné, ne? Před funkcemi více proměnných se přeci řeší spousta věcí z matematiky. Anebo to jsi se v matematice rovnou začala zabývat funkcemi dvou proměnných?

Pokud jsi tedy zažila i nějaké předchozí věci z matematiky, měla bys vědět aspoň to, co to je D(f). Je to definiční obor. Znáš?

A když jsi se příkladem zabývala celý den, tak bys nám tady mohla aspoň rozvést, jak jsi se tedy snažila postupovat. Můžeš to sem i naskenovat. Takhle to vypadá, že málem nevíš ani to, co je to to D(f). Ale tomu se mi nechce moc věřit. Můžu ti pomoct, ale chci nějakou tu snahu vidět. :-)

Sergejevicz · 08. 01. 2016 07:02

Vrstevnice je křivka v definičním oboru obsahující body (x,y) splňující f(x,y) = c, kde c je konstanta z oboru hodnot. Po dosazení předpisu funkce do téhle rovnice tedy dostanu rovnici, kterou se snažím upravit na tvar rovnice nějaké známé křivky.

mishalinek

Ano, matikou jsem nepolibena, jelikož jsem takovej cvicenej jezevčík - všechny postupy si musím zapamatovat, jinak nic sama nevymyslim. V ty práci, co musím odevzdat, jsem udělala spoustu jiných příkladů, at sama nebo s kamarády, s timhle si nikdo nevedel rady a tohle fórum me napadlo jako poslední možnost, když to musím dnes odevzdat. Samozřejmě, ze mám ten příklad nějak udelanej, D (f), i nejaky obrázek, ale jelikož je to spíš ze samoatudia z internetu, z wolframu, tak jsem si jistá, ze to bude nejspis špatně. Proto jsem poprosila, jestli by to mohl někdo vypočítat, jelikož bylo půl jedny ráno a já to dnes musím poslat a to moje bude nejspis špatně.. pokud mi budeš chtít pomoct, budu ti vděčná.

mishalinek · 08. 01. 2016 08:01

A vím, co je to definiční obor, ale nevím si s tím rady kvůli těm dvěma promennejm... Věnovali tomu asi 15 minut přednášky a to bylo vše.

mishalinek · 08. 01. 2016 08:23

↑ Sergejevicz: Víš si s tím prosím rady?

mishalinek · 08. 01. 2016 09:09

↑ Sergejevicz: Bohužel nemám scan a jsem v práci, ale můžu Ti aspon nějak popsat, co jsem tam vymýšlela..

Sergejevicz · 08. 01. 2016 09:25

↑ mishalinek:
Ano.

Uplatníš stejný princip, jako když se zkoumá definiční obor u funkce jedné proměnné. Prostě napíšu podmínky, kdy je funkce definovaná, a z nich mi vyplyne, které vstupy do funkce mohou a které ne. Ty, které tam mohou, tvoří definiční obor.

Tak třeba funkce ln(x) má definiční obor (0,nekonečno). To je základní věc, základní vlastnost funkce ln. Z té vyjdeme. Jinými slovy musí být x > 0. To je v tomto případě postup k zapamatování.

No a my tady máme funkci ln(x*y-1). Místo x je tam složitější výraz, totiž x*y-1. Použijeme zmíněný postup. Tedy musí být x*y-1 > 0. Je tedy $D(f) = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : xy-1 > 0\}$ . Když si budu chtít definiční obor nakreslit, tak v té nerovnici x*y-1 > 0 budu hledat nějakou známou rovnici křivky.

Ještě by se mohlo stát, že v předpisu budeme mít i nějakou další funkci, která taky klade nějaká omezení na jí vkládané argumenty (okud nevíš, tak argument je vstup funkce, to, co má v okrouhlých závorkách za jejím označením), takový případ my tu ale nemáme - ve výrazu xy - 1 není žádný problém, není tam žádná odmocnina, která by si žádala nezáporný vstup, dělení, které by si žádalo nenulovost jmenovatele apod.

Vyšetřují se všechny podmínky kladené i dílčími funkcemi a tyto podmínky pak musejí platit zároveň. My budeme ale vyšetřovat jen ten logaritmus, protože, jak jsem napsal, nic jiného omezujícího tam nemáme.

Půjdeme na to ze strany x, projdeme všechny možné hodnoty x, a podíváme se, co za podmínku pak nerovnost x*y-1 > 0 klade na y. Budeme se vlastně snažit vyjádřit y v závislosti na x, což nám umožní představovat si/kreslit si grafy této závislosti a z nich odvozovat dál.

Pro x > 0 lze tu nerovnici x*y-1 > 0 upravit na y > 1/x. V tom je vidět rovnice hyperboly y = 1/x, viz http://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%3D+1%2Fx. My tam ale máme > , čemuž v $\mathbb{R}^2$ odpovídají všechny body nad pravou větví hyperboly (pravou proto, že jsme teď v případě x > 0) s rovnicí y = 1/x a ta samotná hyperbola tam nepatří, protože nerovnost je ostrá.

Viz http://www.wolframalpha.com/input/?i=y+ … x%2C+x%3E0

Naopak je-li x < 0, jde nerovnice x*y-1 > 0 upravit na y < 1/x (dělil jsem x na kladná a záporná proto, že v tomto případě se dělí záporným x, a tedy se nerovnost obrací), čemuž zase odpovídají body pod levou větví té samé hyperboly (levou proto, že jsme v případě x < 0), ovšem opět bez bodů té hyperboly, protože nerovnost je opět ostrá.

Obdobně viz http://www.wolframalpha.com/input/?i=y+ … x%2C+x%3C0

Zbývá poslední možnost, totiž x = 0. V takovém případě může být y libovolné, protože je v x*y-1 > 0 je v součinu s x, které je teď nula. To v $\mathbb{R}^2$ odpovídá přímce ležící na ose y. Ale to pak nerovnost x*y-1 > 0 přejde na tvar -1 > 0, což není možné, takže případ x = 0 a y libovolné, tedy body na ose y, nepřicházejí v úvahu.

Vyčerpali jsme všechny možnosti pro x, a tedy za definiční obor nám zbyly jen ty dvě oblasti nad resp. pod hyperbolou. Ty sjednotíme (protože x je buď kladné, anebo záporné) a toto sjednocení je D(f).

Množinově tedy jde D(f) napsat takto:
$D(f) = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x > 0 \wedge y > 1/x\} \cup \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x < 0 \wedge y < 1/x\}$ ,
anebo když dám podmínky dohromady (doufám, že znáš logické oparace "nebo" a "zároveň", tj. $\vee$ a $\wedge$ )
$D(f) = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : ( x > 0 \wedge y > 1/x) \vee (x < 0 \wedge y < 1/x)\}$ .

Sergejevicz · 08. 01. 2016 09:52

Mimochodem, správně by se vlastně mělo psát f((x,y)), ne jen f(x,y), protože okrouhlé závorky bezprostředně za f značí místo, kam se vkládá argument, a argumentem je bod (x,y) v $\mathbb{R}^2$ , a body obecně v $\mathbb{R}^n$ se značí také s okrouhlými závorkami. V případě funkcí více proměnných se ale jedny ty závorky vynechávají a píše se jen to f(x,y). :-)

K vrstevnicím: Jak jsem psal, vrstevnice je křivka splňující f(x,y) = c = konstanta. No, tak si to napíšeme a opět budeme hledat konkrétní podmínky pro x, y, které tu rovnici budou splňovat. Tato x, y pak budou tvořit tu křivku, vrstevnici.

Říká se vrstevnice proto, že graf f je vlastně nějaká obecně křivá plocha nad $\mathbb{R}^2$ , lze ji tedy chápat jako povrch krajiny. Body na grafu f, které mají stejnou funkční hodnotu, rovnou tomu c, jsou tedy body umístěné stejně vysoko nad $\mathbb{R}^2$ . A uvážíme-li interpretaci krajiny a vzpomeneme-li si na to, jak vypadá např. turistická mapa, tak název vrstevnice se přímo nabízí - spojit body v $\mathbb{R}^2$ , tj. v průmětu krajiny do půdorysu, které mají stejnou (nadmořskou) výšku nad $\mathbb{R}^2$ , tj. stejnou funkční hodnotu f :-).

Takže, napíšu si $\ln(xy-1) = c$ . Abych se dostal k nějaké rovnici vyjadřující samotné x nebo y, musím sezbavit logaritmu. To udělám odlogaritmováním, tj. vypuštěním inverzní funkce k lograritmu na obě strany rovnice. Takovou funkcí je exponenciála. Takže mám (píšu $\exp()$ místo $\mathrm{e}^{()}$ , abych nemusel používat horní index, je to lépe čitelné)

$\exp(\ln(xy-1)) = \exp(c)$ .

Nalevo se mi (to jsem přesně chtěl, proto jsem tam tu exponenciálu dával) navzájem vyruší exponenciála a logaritmus (to jsem přesně chtěl, proto jsem tam tu exponenciálu dával), neb jsou navzájem inverzní, takže mám

$xy-1 = \exp(c)$ .

Opět použiju podobný postup jako při hledání definičního oboru. Hledám x, y splňující rci $xy-1 = \exp(c)$ , tak je můžu hledat tak, jako kdyby y záviselo na x, a můžu tedy vyhovující body kreslit jako graf nějaké funkce y = g(x). Při takovém vyjadřívání ale musím dát pozor na hodnotu x. Z definičního oboru víme, že x musí být nenulové. A to je právě i vynucováno kýženou úpravou, protože tam budu chtít dělit x-em. Vyjádřím tedy y a mám

$y = \frac{(1 + \exp(c))}{x}$ .

To je obecně rovnice hyperboly y = p/x, kde p = 1 + exp(c) je parametr. Tedy pro dané p, tj. vlastně pro dané c dostanu nějakou hyperbolu. Tyto hyperboly budou ležet všechny v definičním oboru, protože: exp je funkce s nezápornými funkčními hodnotami, tedy p z rovnice hyperboly bude vždy větší než 1, a jak známo z tvaru hyperbol v závislosti na p, tak čím větší p, tím jsou větve hyperboly vzdálenější počátku. Hraniční případ p=1 nemůže nastat, protože jednak by šlo o hyperbolu y = 1/x, ale ta do def. oboru nepatří, a jednak exp je nezáporná fce, takže p bude vždy > 1, a příslušná hyperbola tedy bude ležet v def. oboru.

Teď bychom se měli zabývat ještě otázkou, jak budou hyperboly v def. oboru navzájem daleko od sebe. To je vidět zase z toho, když si budu volit c odstupňované stejně velkými skoky. exp klesá asymptoticky k nule pro c jdoucí do mínus nekonečna, takže hyperboly budou směrem k hraniční hyperbole čím dál víc nahuštěnější, a naopak exp roste velmi prudce pro c jdoucí do nekonečna, takže hyperboly budou naopak řídnout směrem od počátku systému souřadnic.

Schválně si vyzkoušej dát vzorec y = (1+exp(c))/x pro různá c do wolframalphy, www.wolframalpha.com
Budou se ti kreslit příslušné vrstevnice.

Já tedy celou dobu předpokládám, že jde o reálnou funkci. Něco jiného by to bylo, kdyby šlo o funkci komplexní, tam by to bylo asi jinak i s definičním oborem.

Sergejevicz · 08. 01. 2016 10:04

Taky by asi bylo dobré nějak u vrstevnic vyznačit, jaké hodnoty na nich funkce nabývá. Začal bych od případu, kdy bude funkce nulová, tj. c = 0. Tomu, viz rovnice vrstevnice y = (1+exp(c))/x, odpovídá hyperbola s rovnicí y = 2/x, budu jí říkat nulová hyperbola, obdobně pro c < 0 resp. c > 0 hyperboly mezi hraniční hyperbolou s rovnicí y = 1/x a "nulovou" hyperbolou, tam bude funkce záporná a půjde s měrem k raniční hyperbole do -nekonečna - viz vlastnosti logaritmu, resp. naopak hyperboly vzdálené od počátku víc než "nulová" hyperbola, tam budou fční hodnoty kladné, opět viz vlastnosti logaritmu.

Matematické Fórum

#1 08. 01. 2016 00:31

Vrstevnice - definiční obor a zakresleni

#2 08. 01. 2016 06:52 — Editoval Sergejevicz (08. 01. 2016 06:52)

Re: Vrstevnice - definiční obor a zakresleni

#3 08. 01. 2016 07:02

Re: Vrstevnice - definiční obor a zakresleni

#4 08. 01. 2016 07:55 — Editoval mishalinek (08. 01. 2016 07:56)

Re: Vrstevnice - definiční obor a zakresleni

#5 08. 01. 2016 08:01

Re: Vrstevnice - definiční obor a zakresleni

#6 08. 01. 2016 08:23

Re: Vrstevnice - definiční obor a zakresleni

#7 08. 01. 2016 09:09

Re: Vrstevnice - definiční obor a zakresleni

#8 08. 01. 2016 09:25

Re: Vrstevnice - definiční obor a zakresleni

#9 08. 01. 2016 09:52

Re: Vrstevnice - definiční obor a zakresleni

#10 08. 01. 2016 10:04

Re: Vrstevnice - definiční obor a zakresleni

Zápatí