Matematické Fórum

maoap · 08. 01. 2016 17:15 — Editoval maoap (08. 01. 2016 17:17)

Mám problém s jedním příkladem, už ho řeším několik dní a nemohu na něj přijít, nalezl jsem jej jako příklad č. 14 ve Sbírce úloh a cvičení z matematické analýzy od Děmidoviče: Sestrojte číselný řez, který definuje číslo $2^{\sqrt2}$ .
Sestrojit řez z nějaké odmocniny nebo podobné elementární funkce je snadné, ale nevím, jak to udělat u exponenciální funkce. Pro ujasnění: rád bych dělal řez do množiny $\mathbb{Q}$ . Na internetu jsem řešení zatím nenašel. Děkuji za pomoc

byk7 · 08. 01. 2016 23:44 — Editoval byk7 (08. 01. 2016 23:56)

Chybná úvaha!

Nevím, jaké máš značení, ale snad si porozumíme. :-)
Proč by řezem nemohla být dvojice $(A/B)$ , kde $B=\{x\in\mathbb{Q}:x>0\wedge2^{x^2}>2^2\}$ a $A=\mathbb{Q}\setminus B$ ?

Brano · 08. 01. 2016 23:53

↑ byk7:
to nie je dobre - to si definoval $\sqrt{2}$

byk7 · 08. 01. 2016 23:55

↑ Brano:

Jaj, díky za upozornění.

Brano · 09. 01. 2016 00:23 — Editoval Brano (09. 01. 2016 13:58)

Mna napadol takyto postup, ale je dost neohrabany, tak mozno este niekto najde nieco elegantnejsie.

$a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n};\ a_0=2$ je racionalna postupnost konvergujuca k $\sqrt{2}$ zhora! polozme:
$a_{n}=\frac{p_n}{q_n}$ a teda
$\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}=\frac{p_n^2+2q_n^2}{2p_nq_n}$ cize potom
$p_{n+1}=p_n^2+2q_2^2;\ q_{n+1}=2p_nq_n; p_0=2; q_0=1$ je dvojica postupnosti prirodzenych cisel taka, ze
$\frac{p_n}{q_n}\to\sqrt{2}$ zhora, cize mozme zobrat
$x>2^{p_n/q_n}$ co je ekvivalentne s
$x^{q_n}>2^{p_n};\ x>0$ a teda nech
$B_n=\{x\in\mathbb Q; x>0\ \&\ x^{q_n}>2^{p_n}\}$ , $B=\cup_{n\in\mathbb N}B_n$ , $A=\mathbb Q\setminus B$ a rez co chces je $(A|B)$

van Thomas · 09. 01. 2016 02:24

Ahoj,

já bych vzal $((\mathbb Q\setminus B)|B)$ , kde $B=\bigcup_{a,b\in\mathbb N\atop a^2>2b^2}\{\frac p q:p,q\in\mathbb N\wedge p^b>2^aq^b\}$ . Jinými slovy, $B$ je množina $\frac pq$ takových, že $\frac pq>2^\frac ab$ pro nějaké $\frac ab>\sqrt2$ .