Matematické Fórum

7867088 · 15. 04. 2009 11:00

ahoj, prosím o pomoc, může mi někdo vysvětlit, jak se počítá se sumou $\sum_{a}^{b}$ vůbec jsem to nepochopil co a jak něco znamená, nikde jesem na internetu na nic nenarazil...děkuji předem - možná jsem hodím ukázkový příklad abych věděl co jak se sčítá atd.

Rumburak

Sumační symbol $\sum_{}^{}$ se používá v několika případech:

I.) Pro KONEČNÝ součet.

a) Nechť množina M má konečný počet prvků a každému z nich je přiřazeno nějaké číslo , tj. prvku $m \in M$ je přiřazeno číslo f(m). Symbol
(1) $\sum_{m \in M}^{}f(m)$
pak značí součet všech hodnot f(m) , kde m probíhá množnu M. Je-li M prázdná množina, pak hodnotu výrazu (1) definujeme jako 0.

Příklad: Je-li M = {a, b, c} , kde a, b, c jsou navzájem různé prvky, pak (1) znamená f(a) + f(b) + f(c).

Poznámky. 1. Symbol m v (1) představuje tzv. sumační proměnnou. Je lhostejné, kterým písmenem ji označime, avšak příslušné písmeno nesmí mít
ve výrazu f(m) již žádný další význam - místo $\sum_{m \in M}^{}f(m,x)$ napsat $\sum_{x \in M}^{}f(x,x)$ by bylo vážnou chybou.
2. Hodnoty f(m) nemusejí být pouze čísla, obecně to mohou být prvky kterékoliv matematické struktury, v níž je definováno sčítání prvků mezi sebou
za předpokladu, že je splněn komutativní i asociativní zákon - například vektory z téhož prostoru, matice téhož typu. Všechny členy f(m) pod touž sumou
samozřejmě musí být téhož druhu - tak, aby se daly mezi sebou sčítat.

b) Je-li množna M z předchozího odstavce omezeným intervalem v množině celých čísel, tedy existují-li celá čísla p, q taková, že množina M obsahuje
právě všechna celá čísla m splňující nerovnost p <= m <= q, můžeme místo (1) psát
(2) $\sum_{p\le m\le q}^{}\,f(m)$ nebo $\sum_{m=p}^{q}f(m)$ .
Příklad: Je-li M = {-1,0,1,2,3} , pak (2) má tvar $\sum_{m=-1}^{3}f(m)\,=\,f(-1)+f(0) + f(1) + f(2) + f(3)$ .

II.) Pro NEKONEČNOU ŘADU a její "součet".
a) Nechť např. $(a_n)$ je číselná posloupnost, v níž index n probíhá množinu všech přirozených čísel počínaje číslem 1. Nekonečnou řadou přiřazenou
této posloupnosti nazýváme formálně vytvořený výraz
(3) $a_1+a_2+a_3+...$ ,
který znázorňuje operaci s danou posloupností spočívající v hledání jejího "součtu" (definice níže). Místo (3) píšeme
(4) $\sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ .
b) Výrazy (3),(4) zároveň označují "součet" této řady, jímž je dle definice hodnota limity $\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{k}a_n$ , pokud tato existuje.

III.) Při složitějších výpočtech a v pokročilejších partiích matematiky se použávají i další formy "sumy".

7867088 · 15. 05. 2009 09:49

mohli byste mi sem zadat prosím nějaký příklad na procvičení zápisu sumačního znaku? jen nevím jak se poperu s TeXem :-)

7867088 · 15. 05. 2009 10:49

a taky by mě zajímal zápis součtu všech sudých čísel do sta

Rumburak

Budeme se zabývat konečnými sumami.
Je dobré si uvědomit, že se sumou se pracuje obdobně jako se závorkou uzavírající součet příslušných členů (viz distributivní zákon),
sumu je dále možno "trhat" do několika částí apod.

Příklady na zacházení se sumami:
$\sum_{m=1}^{10}5 = 5 + 5 + ... + 5 \text { (celkem 10 stejnych scitancu)} = 10\cdot 5 = 50$ ,
$2 + 4 + 6 + ... + 100 = \sum_{m=1}^{50}2m = 2\sum_{m=1}^{50}m = 2(1+2+ ...+50)$ ,
$1 + 3 + 5 + ... + 101 = \sum_{m=0}^{50}(2m + 1) = \sum_{m=0}^{50}2m \,\,+ \,\sum_{m=0}^{50}1 \,\,= \,\,2 \sum_{m=1}^{50}m \,\,+ \,\sum_{m=0}^{50}1$ ,
$1 + 3 + 5 + ... + 101 = \sum_{m=0}^{50}(2m + 1) = \sum_{y=0}^{50}(2y + 1) = \sum_{x=10}^{60}[2(x-10) + 1] = \sum_{y=0}^{40}(2y + 1) \,\,+ \,\sum_{y=41}^{50}(2y + 1)$ .

Zkus si pomocí sumačního symbolu vyjádřit obecný vzorec pro součet prvních n členů posloupnosti a aplikuj ho na posloupnosti různých typů, které znáš.

Vyjádři si pomocí sumy binomickou větu a nastuduj si její důkaz (v sumační symbolice).

Vždy je možné rozmyslet si situaci pomocí rozepsání sumy do normálního součtu.
Atd.

Marian · 15. 05. 2009 14:57

↑ Rumburak:
Vždy jsem měl smíšené pocity, když jsem v definici nekonečné řady viděl termín "formální výraz". Studoval jsem o nekonečných řadách ale i spousty takových knih (třeba Tibor Šalát, Nekonečné rady - slovensky, Konrad Knopp, Theorie und Anwendungen der unendlichen Reihen - německy, etc.), kde byly nekonečné řady chápány jako posloupnost (jistě, že částečných součtů). Pro další systematický postup v obecné teorii nekonečných řad se musím přiklonit k této variantě jako rozumnější.

Rumburak · 15. 05. 2009 16:02

↑ Marian:
Přiznám se, že takové smíšené pocity jsem míval rovněž. Vyrovnával jsem s nimi tím, že jsem řadu chápal jako zobrazení, které vhodné posloupnosti
(tedy funkci speciálního typu a vlastností) přiřadí vhodné "číslo" (dle definice součtu řady), podobně jako tomu je u integrálu, jehož je řada obdobou
(a v určité situaci a z určitého pohledu doslova speciálním případem). Ale nevím, zda tazatel - evidentně ne příliš pokročilý v matematice - by takto
koncipovaný výklad unesl. Pro jistotu se podívám do Jarníka, ale na 99 % si myslím, že cestu výkladu skrze "formální symbol" jsem odkoukal tam
(i když nedomnívám se, že Jarník své pojetí řady formuluje jako definici).

ttopi · 15. 05. 2009 16:21

↑ Rumburak:
Zrovna jsem včera někde četl vznik znaku integrace. Ono se tomu původně říkalo suma a psalo se to jako klasické S. Ale jeden autor (tuším Britský) psal nějakou knížku a měl zvláštní způsob psaní písmena S - psal ho totiž hubené a protáhlé. To se ustálilo a od té doby se integrál neznačí S ale $\int$

Rumburak · 15. 05. 2009 16:51

↑ ttopi:
Také mám v povědomí, že znak integrálu vznikl z písmene S (summa).
Někde jsem četl, že symboliku dif. a int. počtu "podobnou té dnešní" zavedl prý Leibniz.

Marian · 15. 05. 2009 17:25 — Editoval Marian (15. 05. 2009 17:25)

↑ ttopi:↑ Rumburak:
Přikláním se k informaci kolegy ↑ Rumburaka:.

Navíc, vycházeje z definice Riemannova integrálu, sčítaly se jakési plošné obsahy obdélníčků. Geometrická interpretace takového sčítání byla pak zcelováním takových to plošných obrazců (obdélníčků), které dávaly obsah obrazce omezeného zadanými křivkami nebo čarami. Slovo integrál pochází z latinského integrare = zcelovat.

ttopi · 15. 05. 2009 17:30

↑ Marian:
Zdroj: http://fyzmatik.pise.cz/102971-jak-vzni … gralu.html

Matematické Fórum

#1 15. 04. 2009 11:00

suma

#2 15. 04. 2009 12:00 — Editoval Rumburak (15. 04. 2009 15:53)

Re: suma

#3 15. 05. 2009 09:49

Re: suma

#4 15. 05. 2009 10:49

Re: suma

#5 15. 05. 2009 10:56 — Editoval Rumburak (15. 05. 2009 15:16)

Re: suma

#6 15. 05. 2009 14:57

Re: suma

#7 15. 05. 2009 16:02

Re: suma

#8 15. 05. 2009 16:21

Re: suma

#9 15. 05. 2009 16:51

Re: suma

#10 15. 05. 2009 17:25 — Editoval Marian (15. 05. 2009 17:25)

Re: suma

#11 15. 05. 2009 17:30

Re: suma

Zápatí